ഗണിതം

അക്കങ്ങള്‍

സംഖ്യകള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള ചിഹ്നങ്ങള്‍. അതിപ്രാചീന കാലങ്ങളില്‍തന്നെ ഒരു ജീവിതാവശ്യമെന്ന നിലയില്‍ മനുഷ്യന്‍ എണ്ണാന്‍ പഠിച്ചു. പിന്നെയും വളരെക്കാലം കഴിഞ്ഞിട്ടാണ് അക്കങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാന്‍ തുടങ്ങിയത്. എണ്ണം രേഖപ്പെടുത്താന്‍ കല്ലും കമ്പും ഒരുപക്ഷേ അവന്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കാം. പ്രാചീന രേഖകളനുസരിച്ച് കല്ലിലോ, വടിയിലോ അടയാളപ്പെടുത്തിയാണ് അക്കം എഴുതിയിരുന്നതെന്ന് കാണാം. അക്കം എഴുതേണ്ട ആവശ്യംതന്നെ അന്നുണ്ടായിരുന്നില്ല. സാധനങ്ങള്‍ പരസ്പരം കൈമാറി ആവശ്യം നിറവേറ്റുന്ന വിനിമയ (Barter) സമ്പ്രദായമായിരുന്നു നിലവിലിരുന്നത്. ഏതാനും ശബ്ദങ്ങള്‍ പുറപ്പെടുവിച്ച് എണ്ണം കുറിക്കുന്ന സമ്പ്രദായം വന്നതിനുശേഷമാകാം എഴുത്തുതുടങ്ങിയത്. ചെറിയ എണ്ണങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ശബ്ദത്തിലൂടെ എളുപ്പത്തില്‍ സാധിച്ചെങ്കിലും വലിയ എണ്ണങ്ങള്‍ ആവശ്യമായി വന്നപ്പോള്‍ എഴുതിവയ്ക്കാതെ നിവൃത്തിയില്ലാതായി.

ചരിത്രം. ഈജിപ്ത്, ക്രീറ്റ്, സുമേറിയ, ഇന്ത്യ, ചൈന എന്നിവിടങ്ങളിലാണ് അക്കമെഴുത്ത് ആരംഭിച്ചത്. ഈജിപ്തിലും ക്രീറ്റിലും സുമേറിയയിലും മറ്റും ചിത്രലിപികള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി പ്രാചീന രേഖകള്‍ തെളിയിക്കുന്നു. ഏകദേശം ബി.സി. 3400-ല്‍ ഈജിപ്തിലും 3000-ല്‍ സുമേറിയയിലും 1200-ല്‍ ക്രീറ്റിലും ഒന്ന്, പത്ത് എന്നിവ യഥാക്രമം  എന്നീ രൂപത്തിലെഴുതിയിരുന്നു.

പത്ത് അടിസ്ഥാനമാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കാണ് ഏറ്റവും പഴക്കമുള്ളത്. ഒരുപക്ഷേ മനുഷ്യന്റെ കൈവിരലുകളുടെ എണ്ണമായതിനാലാവാം പത്തിന് ഈ പ്രാധാന്യം വന്നത്. പത്ത് അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് ഇംഗ്ളീഷില്‍ എണ്ണങ്ങള്‍ക്കു പേരുകള്‍ വന്നിട്ടുള്ളത്. പത്തു കൂടാത്ത മറ്റു സംഖ്യകളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. ആസ്റ്റ്രേലിയയിലെ അതിപ്രാചീന വര്‍ഗക്കാരും ന്യൂഗിനിയുടെ പരിസരങ്ങളിലും റ്റോറസ് പ്രദേശത്തും ചില പാപ്പുവന്‍ (papuan) ഭാഷക്കാരും ആഫ്രിക്കന്‍ പിഗ്മികളും അനവധി തെക്കെ അമേരിക്കന്‍ വര്‍ഗക്കാരും 'രണ്ട്' ആണ് ആധാരമായി സ്വീകരിച്ചത്. ടൈറാഡെല്‍ ഫ്യൂഗോ വര്‍ഗക്കാരും തെക്കെ അമേരിക്കന്‍ വന്‍കരയിലുള്ളവരും മൂന്ന്, നാല് എന്നിവയെ ആധാരമാക്കി എണ്ണം കുറിച്ചിരുന്നു. അഞ്ച് വളരെ പ്രാചീന കാലത്തുതന്നെ സ്വീകൃതമായിരുന്നു. തെക്കേ അമേരിക്കയിലെ ഒരു ആരാവാക്കന്‍ ഭാഷയായ സാരാവെക്കിയില്‍ മാത്രമാണ് ഇന്നും 'അഞ്ച്' ആധാരമായി ഉപയോഗിച്ചു കാണുന്നത്. മറ്റു ചിലേടത്ത് 'പത്തും' 'ഇരുപതും' ആധാരമായി സ്വീകരിച്ചുകാണുന്നു. ആഫ്രിക്കയുടെ വടക്കുപടിഞ്ഞാറന്‍ പ്രദേശങ്ങളില്‍ ആറും പന്ത്രണ്ടും പ്രയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതുകാണാം. മെക്സിക്കോ, മധ്യാഫ്രിക്ക എന്നിവിടങ്ങളൊഴിച്ചാല്‍ മറ്റു മിക്ക രാജ്യങ്ങളിലും ദശസമ്പ്രദായം സ്വീകരിച്ചിരുന്നു. എന്നാലും ദ്വാദശം (12), ജോടി (2) എന്നീ പ്രയോഗങ്ങളിലൂടെ 10 അല്ലാത്ത അടിസ്ഥാനങ്ങളും നടപ്പിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വ്യക്തമാണ്. കോണങ്ങള്‍ അളക്കുമ്പോള്‍ ആധാരമായി 60 സ്വീകരിക്കാറുണ്ട്.

അക്കമെഴുത്ത്. പ്രാകൃത സമ്പ്രദായത്തില്‍ I, II, III, ≡ എന്നോ --, =, .., എന്നോ ആയിരിക്കണം അക്കങ്ങള്‍ പ്രയോഗിച്ചിരുന്നത്. സൈബീരിയയിലെ യുക്കാഗിരന്മാര്‍ ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, മൂന്നും ഒന്നും, അഞ്ച്, രണ്ടുമൂന്ന്, രണ്ടു മൂന്നും ഒന്നും, രണ്ടുമൂന്നും രണ്ടും, ഒന്നൊഴികെ പത്ത്, പത്ത് എന്നിങ്ങനെയാണ് എണ്ണിയിരുന്നത്. എളുപ്പമായ രീതിയില്‍ ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്ത് അക്കങ്ങളെഴുതുന്ന രീതിയാണ് റോമക്കാരുടേത്. ഉദാ. 19-ന് XIX ഈജിപ്തില്‍ ശിലാലിഖിതങ്ങളിലെ ചിത്രമെഴുത്തുകളിലാണ് ഈ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ആദ്യരൂപങ്ങള്‍ കാണുക.

ഹൈറോഗ്ളിഫിക്സ്. ഈജിപ്തില്‍ വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടാണ് പഴയ എഴുത്ത്.

2312841 = 2(10)⁶ + 3(10)⁵ + 1(10)⁴ + 2(10)³ + 8 (10)² + 4 (10) + 1. ഇതെഴുതുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

പിരമിഡുകളിലും മറ്റും ഇത്തരം ചിത്രലേഖനങ്ങള്‍ കാണാം.

ബാബിലോണിന്റെ പരിസരങ്ങളില്‍ കളിമണ്‍ പലകകളില്‍ എഴുതി ചൂളയ്ക്കുവച്ച് ഉറപ്പുവരുത്തി രേഖകളായി സൂക്ഷിച്ചിട്ടുള്ള ചരിത്രാവശിഷ്ടങ്ങളില്‍ കാണുന്ന ക്യൂനിഫോം (cuniform) സമ്പ്രദായത്തില്‍ 1, 10 എന്നിവയുടെ ചിഹ്നങ്ങള്‍ യഥാക്രമം പട്ടിക എ-യില്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു. 60 വരെയുള്ള എണ്ണങ്ങള്‍ക്ക് ഈ രൂപങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ഉദാ. 23 = 

ഗ്രീസില്‍ രണ്ടു സമ്പ്രദായങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു. ഒന്നാമതായി, 1 ഒമ്പതു പ്രാവശ്യം ആവര്‍ത്തിക്കപ്പെടുകയും 10-ന് ഒരു ഒറ്റയടയാളം ചേര്‍ക്കുകയുമാണ്; രണ്ടാമതായി, എളുപ്പമായ ഗ്രൂപ്പിംഗ് സമ്പ്രദായവും. ഇതിനു മുമ്പുതന്നെ ബാബിലോണിയക്കാരും ഈജിപ്തുകാരും ഫിനീഷ്യക്കാരും 1 ഒമ്പതുവരെ ആവര്‍ത്തിക്കുന്ന സമ്പ്രദായവും പ്രയോഗിച്ചിരുന്നു. 10, 100, 1000 എന്നിവയുടെ (ക്രീറ്റില്‍ നിലവിലിരുന്ന) ചിഹ്നങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ പട്ടിക ബി-യില്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു.

വാക്കുകളുടെ ആദ്യക്ഷരങ്ങള്‍ കൊണ്ട് സംഖ്യകള്‍ ചുരുക്കമായി എഴുതുന്ന രീതിയില്‍ നിന്നാണ് പിന്നീട് അക്ഷരസംഖ്യാ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായത്. ഇന്ത്യയിലെ കലി സംഖ്യ (പരല്പേര്) ഇതിനുദാഹരണമാണ്. 5, 10, 100, 1,000, 10,000 എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ π (അഥവാ Γ) Δ, H, X, M (അഥവാ MU ) ഉപയോഗിച്ചു. അക്കങ്ങള്‍ 5 നോടു ചേര്‍ത്ത് കൂട്ടക്കങ്ങളെഴുതി:

ഇത്തരത്തില്‍. 25436 = MM|XHHHHΔΔΔπ1.ബി.സി. മൂന്നും രണ്ടും ശ.-ങ്ങളില്‍ ഈ സമ്പ്രദായം നിലനിന്നിരുന്നതായി ആറ്റിക് ശാസനങ്ങള്‍ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. ഹെറോഡിയാനിക് അക്കങ്ങളെന്നാണ് ഇതിനു പേര്‍.

റോമന്‍ പദ്ധതി. റോമന്‍ സമ്പ്രദായം ഏകദേശം 2,000 വര്‍ഷങ്ങളോളം എല്ലാ രംഗത്തും നിലനിന്നു.

V,X,L,C എന്നീ നാല് അക്കങ്ങള്‍ ഓര്‍മിച്ചാല്‍ മറ്റെല്ലാം എളുപ്പം എഴുതാവുന്നതിനാലും III, VII എന്നിവ 3, 7 എന്നിവയെക്കാള്‍ എളുപ്പം ഗ്രഹിക്കാവുന്നതായതിനാലും ഏറെക്കാലം ഈ സമ്പ്രദായം നിലനിന്നു. നിവര്‍ത്തിപ്പിടിച്ച കൈപ്പത്തിയുടെ ആകൃതിയിലുള്ള ചിഹ്നമാണ് V. ഇതുപോലെ രണ്ടെണ്ണമായാല്‍ X എന്നായി; ഇതാണ് പത്ത്; പിന്നീട് L ആയി 50-ന്; ø (തീറ്റാ), പിന്നീട് C 100 നെയും സൂചിപ്പിച്ചു; ø (ഫൈ), പിന്നീട് I അഥവാ M 1,000 വും 10, 50, 100, 1000 എന്നിവയുടെ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ പട്ടിക സി-യില്‍ കാണാം.

ബി.സി. 260-ല്‍ റോമാക്കാര്‍ കാര്‍തേജിയന്‍മാരുടെ മേല്‍ നേടിയ വിജയത്തെ അനുസ്മരിച്ച് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ട സ്തംഭത്തിന്‍മേല്‍ (Columna Rostrata) കാണുന്ന അക്കങ്ങളാണ് വലിയ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും പ്രാചീനമായ രേഖകള്‍. ഇതില്‍ (((1))) എന്നിങ്ങനെ 23 പ്രാവശ്യം ആവര്‍ത്തിച്ചു കാണുന്നത് 23,00,000 ആണ്.

 

 

 

 

ഇതില്‍നിന്ന് (1) = 1,000, ((1)) = 10,000, (((1))) = 1,00,000 എന്ന് ഊഹിക്കാം. അച്ചടി സാധാരണമായതിനുശേഷവും ഈ സമ്പ്രദായം നിലനിന്നു. ചിഹ്നത്തിന്റെ മുകളില്‍ ഒരു വരയിട്ട് 1,000 ത്തിന്റെ പെരുക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സമ്പ്രദായം മധ്യകാലത്തു പ്രചാരത്തിലിരുന്നു. ഈ രീതി റോമില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. കുറച്ചെഴുതുന്ന സമ്പ്രദായം ഹീബ്രുവിലും ചില റോമന്‍ അക്കങ്ങളിലുമുണ്ട്. IV, IX എന്നിവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. ഗുണിച്ചെഴുതി ഗ്രൂപ്പു ചെയ്യുന്ന സമ്പ്രദായം ചൈനയിലുണ്ടായിരുന്നു. സ്ഥാനമനുസരിച്ചുള്ള എഴുത്താണ് ആധുനിക ചൈനയില്‍ നിലവിലുള്ളത്. പൂജ്യത്തെ o എന്ന വൃത്തചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

സൈഫറിംഗ് (Ciphering) പദ്ധതി. പാപ്പിറസിനെ (pappyrus)ക്കുറിച്ച് പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഈജിപ്ഷ്യന്‍ ഗണിത രേഖകളില്‍നിന്ന് ഗ്രഹിക്കാവുന്നതാണ് ഹെറാറ്റിക് അക്കങ്ങള്‍. സൈഫറിംഗ് അക്കപദ്ധതിയിലെ ഏറ്റവും പഴക്കമുള്ളത് ഹെറാറ്റിക് അക്കങ്ങളാണ്: 1, 2, ..., 9; X , 2 X, ...., 9X; C, 2C, ...., 9 C; M, 2M ...., 9M. പിന്നീട് നിലനിന്നിരുന്ന ഡിമോടിക് അക്കങ്ങള്‍ ഇതിന്റെ വകഭേദമാണ്.

ബി.സി. 3-ാം ശ.-ത്തില്‍ ഗ്രീസില്‍ മറ്റൊരു രീതിയും നിലനിന്നിരുന്നു. ആദ്യക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായത്തോട് ഇതിന് സാമ്യമുണ്ട്. ഇതും സൈഫറിംഗ് പദ്ധതിതന്നെ. അക്ഷരമാലയില്‍ നിന്ന്, 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കും 10, 20, ...., 90; 100, 200, ...., 900, .... എന്നിവയ്ക്കും ക്രമത്തില്‍ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നു. 24 അക്ഷരങ്ങള്‍

മാത്രമുള്ള ഗ്രീക് അക്ഷരമാല മതിയാകാതെ വന്നു. ഫിനീഷ്യന്‍ ഭാഷയില്‍നിന്ന് F (വോ), യ (കോഫ്), S (സാമ്പി) എന്നിവയ്ക്കു സാമ്യമുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ അവര്‍ സ്വീകരിച്ചു.

സ്ഥാനക്രമമനുസരിച്ചുള്ള സമ്പ്രദായമാണ് ഏറ്റവും ആധുനികം. എത്ര വലിയ സംഖ്യയായാലും എഴുതിക്കാണിക്കാന്‍ ഏറ്റവും എളുപ്പമാര്‍ഗം ഇതാണ്. ഏതെങ്കിലുമൊരു അക്കം ആധാരമായെടുക്കാം. N=b_n aⁿ + b_n-1 a^n-1 + .. + b₁ a + b₀.5623 =5M6C2X3എന്ന പഴയ സമ്പ്രദായം ക്ളേശകരമാണ്. Nന്റെ വിവരണവ്യഞ്ജകത്തില്‍ ഏതെങ്കിലും പദം ഇല്ലെങ്കില്‍ ആ സ്ഥാനം

 

 

കുറിക്കാന്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു ചിഹ്നം ആവശ്യമായി വന്നു. അല്ലെങ്കില്‍ 356-ഉം 3056-ഉം ഒരുപോലെയിരിക്കും. ബി.സി. 3000-ത്തിനും 2000-ത്തിനുമിടയ്ക്ക് 60 ആധാരമാക്കി ഒരു സ്ഥാനക്രമസമ്പ്രദായമുണ്ടായി. 1 മുതല്‍ 59 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കു പേരുകള്‍ കണ്ടെത്തുക പ്രയാസമായി ഈ സമ്പ്രദായത്തില്‍

2,56,058 = (60)³ + 11 (60)² + 47 (60) + 38 = 

മയന്‍ സമ്പ്രദായം. കാലനിര്‍ണയം ചെയ്യാന്‍ കഴിയാത്ത ഒരു പ്രാചീന കാലഘട്ടത്തില്‍ തന്നെ സ്ഥാനക്രമമനുസരിച്ചുള്ള ഒരു അക്കസമ്പ്രദായം അമേരിക്കയിലെ മയന്‍കാര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നതായി കാണുന്നു. 20 ആധാരമാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള ഈ സമ്പ്രദായത്തില്‍ 1 മുതല്‍ 19 വരെയുള്ളവയ്ക്ക് 5-ന്റെ ചിഹ്നത്തോടു ഗ്രൂപ്പു ചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള ചിഹ്നങ്ങളാണ് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്.

 

 

ഇന്ത്യന്‍ സമ്പ്രദായം. വളരെ പ്രാചീനകാലം മുതല്‍ ഇന്ത്യയില്‍ സംഖ്യകളുടെ ആധാരമായി 'പത്ത്' സ്വീകരിച്ചിരുന്നു. പത്ത് ഒഴിച്ച് മറ്റൊരു ആധാരം (Base) വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതിന്റെ പരാമര്‍ശം സംസ്കൃത സാഹിത്യം ആകെ പരിശോധിച്ചാലും കാണുകയില്ല. വളരെ ഉയര്‍ന്ന സംഖ്യകള്‍ക്ക് പേരുകളും ഇന്ത്യയില്‍ നിലവിലുണ്ടായിരുന്നു. പതിനായിര (10⁴) ത്തില്‍ കവിഞ്ഞ സംഖ്യകളുടെ പേരുകള്‍ ഗ്രീക്കുകാര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നില്ല. റോമാക്കാര്‍ക്ക് ആയിര(10³)ത്തില്‍ കവിഞ്ഞ ഒരു സംഖ്യക്കും പേരുണ്ടായിരുന്നില്ല. ഇന്ത്യയിലാകട്ടെ പതിനെട്ടു സ്ഥാനങ്ങളില്‍ കവിഞ്ഞ സംഖ്യകള്‍ക്കു വരെ പ്രത്യേകം പേരുകള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു.

യജൂര്‍വേദസംഹിതയില്‍ (xvii-2) താഴെക്കാണുന്ന പേരുകള്‍ അക്കങ്ങള്‍ക്കുപയോഗിച്ചിരുന്നു: ഏകം (1), ദശം (10), ശതം (100), സഹസ്രം (1,000), അയുതം (10,000), നിയുതം (1,00,000), പ്രയുതം (10,00,000), അര്‍ബുദം (1,00,00,000), നയാര്‍ബുദം (10,00,00,000), സമുദ്രം (1,00,00,00,000), മധ്യം (10,00,00,00,000), അന്തം (1,00,00,00,00,000), പരാര്‍ധം (10,00,00,00,00,000). തൈത്തിരീയസംഹിതയിലും (iv. 40. 11.4;vii. 2. 20. 1) ഇതേ പേരുകള്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. ചില്ലറ വ്യതിയാനങ്ങളോടെ ഈ പട്ടിക മൈത്രായനിയിലും (ii,8,14.) കാഠകസംഹിതയിലും(xvii-10) ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി കാണാം. ബി.സി. 5-ാം ശ.-ത്തിലെ ബൌദ്ധകൃതിയായ ലളിതവിസ്താരത്തില്‍ രാജേന്ദ്രലാല്‍ മിത്ര, കോടിയില്‍ കവിഞ്ഞ സംഖ്യകളുടെ പേരുകള്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ട്.

ജൈനന്‍മാരുടെ മൗലികകൃതിയായ അനുയോഗദ്വാരസൂത്രത്തില്‍ (ബി.സി. 100) ലോകജനസംഖ്യ തിട്ടപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ 194 ദശസ്ഥാനങ്ങള്‍ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണതെന്നു പറയുന്നു. ആര്യഭടന്‍ 1 (499), ശ്രീധരാചാര്യന്‍ (750), മഹാവീരന്‍ (850), ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ II (1150), നാരായണാചാര്യന്‍ (1356) എന്നീ ഭാരതീയ ഗണിതാചാര്യന്മാരെല്ലാം ദശസ്ഥാനങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ഒന്നുമുതല്‍ പത്തൊമ്പതുവരെ സ്ഥാനമുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്ക് ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ലീലാവതിയില്‍ നാമനിര്‍ദേശം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.

'ഏക, ദശ, ശത, സഹസ്റാ,-

യുത, ലക്ഷ, പ്രയുത, കോടയഃ ക്രമശഃ

അര്‍ബുദ, മബ്ജം, ഖര്‍വ,-

നിഖര്‍വ, മഹാപദ്മ, ശങ്കവസ്തസ്മാത്

ജലധി, ശ്ചാന്ത്യം, മധ്യം,

പരാര്‍ധ, മിതി ദശഗുണോത്തരാഃ, സംജ്ഞാഃ

സംഖ്യായാഃ സ്ഥാനാനാം

വ്യവഹാരാര്‍ഥം കൃതാഃ പൂര്‍വൈഃ'

ഭാരതീയ ഗണിതശാസ്ത്രപ്രകാരം ഇങ്ങനെ പേരു നല്‍കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള സംഖ്യകളെല്ലാം തന്നെ പത്തിന്റെ (10) അനുക്രമമായ ഘാത(ഗുണിത)ങ്ങളാണെന്ന് പ്രത്യേകം ഓര്‍മിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മേലെഴുതിയ പേരുകള്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ പട്ടിക താഴെ കൊടുക്കുന്നു:

1 ഏകം

10 ദശം

100 ശതം

1,000 സഹസ്രം

10,000 അയുതം

1,00,000 ലക്ഷം

10,00,000 പ്രയുതം

1,00,00,000 കോടി

10,00,00,000 അര്‍ബുദം

1,00,00,00,000 അബ്ജം

10,00,00,00,000 ഖര്‍വം

1,00,00,00,00,000 നിഖര്‍വം

10,00,00,00,00,000 മഹാപദ്മം

1,00,00,00,00,00,000 ശങ്കു

10,00,00,00,00,00,000 ജലധി (സമുദ്രം)

1,00,00,00,00,00,00,000 അന്ത്യം

10,00,00,00,00,00,00,000 മധ്യം

1,00,00,00,00,00,00,00,000 പരാര്‍ധം

10,00,00,00,00,00,00,00,000 ദശപരാര്‍ധം

സങ്കല്പാതീതമെന്ന് പറയാവുന്നതും സാമാന്യരീതിയില്‍ എണ്ണിത്തീര്‍ക്കാന്‍ ദുഷ്കരമായതും ആയ മഹാസംഖ്യകള്‍ക്ക് മലയാളത്തില്‍ 'വെള്ളം' എന്നു പറഞ്ഞുവരുന്ന പതിവുണ്ടായിരുന്നു. ഭാസ്കരാചാര്യന്റെ ലീലാവതിയിലെ 'ജലധി'യില്‍ (സമുദ്രം) നിന്നാകാം ഈ വിവര്‍ത്തിത സംജ്ഞ മലയാളത്തിന് കിട്ടിയത്. 'വെള്ളം പട' എന്നത് ഒരു വലിയ സംഖ്യക്കു പകരം മലയാളത്തില്‍ ഇപ്പോഴും പറഞ്ഞുവരുന്ന പേരാണ്. പരമ്പരാഗതമായ ഈ വ്യവഹാരരീതി താഴെ കൊടുക്കുന്നു:

പാശ്ചാത്യ ഗണനപദ്ധതി അനുസരിച്ച് പ്രത്യേക സംജ്ഞ നല്‍കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ 'ബില്യണ്‍' (billion) ആണ്. ഇതിലടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സ്ഥാന(അക്ക)ങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച് യു.എസിലും ഫ്രാന്‍സിലും ഒരു രീതിയും (1,00,00,00,000) ബ്രിട്ടനിലും ജര്‍മനിയിലും മറ്റൊരു രീതിയും (10,00,00,00,00,000) ആണ് പ്രചാരത്തിലിരിക്കുന്നത്. ഇപ്പോള്‍ യു.എസ്. രീതി ഏതാണ്ട് സര്‍വസമ്മതമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതായത് 1 ബില്യണ്‍ = 10⁹ ആയിരം ബില്യണ്‍ സമം ഒരു ട്രില്യണ്‍ (Trillion). ഒരു ട്രില്യണ്‍ = 10¹².

പ്രാചീന അക്കങ്ങള്‍. മോഹഞ്ജൊദാരോയില്‍ (ബി.സി. 5000) നിന്നു കണ്ടെടുത്ത പുരാരേഖകള്‍ മുഴുവന്‍ മനസിലാക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല. എങ്കിലും കുത്തനെ ചെറുവരകള്‍ നിരത്തിയോ ഒന്നിനു താഴെ മറ്റൊന്ന് എന്ന രൂപത്തിലോ അക്കങ്ങള്‍ എഴുതിയിരുന്നു.

മോഹഞ്ജൊദാരോ ലിഖിതങ്ങള്‍ക്കും അശോകലിഖിതങ്ങള്‍ക്കും ഇടയില്‍ 2700 വര്‍ഷത്തോളം അക്കങ്ങള്‍ എങ്ങനെ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവെന്നതിനെക്കുറിച്ച് അറിവൊന്നും ലഭ്യമല്ല. ഋഗ്വേദത്തില്‍ എട്ടിനെക്കുറിച്ചും യജൂര്‍വേദത്തില്‍ 10¹² നോളം വലിയ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ചുമുള്ള പരാമര്‍ശങ്ങള്‍ വച്ചുനോക്കുമ്പോള്‍ വളരെ വികാസം സിദ്ധിച്ച അക്കസമ്പ്രദായം ഇന്ത്യയില്‍ നിലവിലിരുന്നുവെന്ന് ഊഹിക്കാന്‍ കഴിയും. അശോകലിഖിതങ്ങളില്‍ നിന്നും ഇന്ത്യയിലെ ഈ പ്രാചീനവികാസം ഗ്രഹിക്കാം. ആ ലിഖിതങ്ങള്‍ ബ്രാഹ്മി, ഖരോഷ്ടി എന്നീ രണ്ടുതരം ലിപികളിലാണ് എഴുതിക്കാണുന്നത്.

(i) ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍. ഇന്ത്യയില്‍ എല്ലായിടത്തും പ്രചാരത്തിലിരുന്ന ഒരുതരം ലിപിയാണ് ബ്രാഹ്മി. ഇത് ഇന്ത്യയുടെ ദേശീയ ലിപിയായിരുന്നു. ബി.സി. 1000-ത്തിനു മുമ്പുതന്നെ ഈ ലിപി പരിഷ്കരിച്ച നിലയിലെത്തിയിരുന്നു. ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ ഇന്ത്യയില്‍ കണ്ടുപിടിച്ചവയാണ്. ഈ സമ്പ്രദായവും വിദേശീയമാണെന്നുവരുത്താന്‍ ചില ശ്രമങ്ങള്‍ നടന്നിട്ടുണ്ട്. പക്ഷേ പ്രസിദ്ധ ചരിത്രകാരനായ ലാങ്ഡണിന്റെ (Langdon's Mohenjodaro and the Indus Vally Civilization,Ch,xxiii) അഭിപ്രായത്തില്‍ ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ ഇന്ത്യയില്‍ തന്നെയാണ് കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടത്. ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ അശോക ലിഖിതങ്ങളില്‍ (ബി.സി. 300) നിന്നാണ് മനസിലാക്കുന്നത്. ഉദാ.

 

 

മധ്യേന്ത്യയിലെ നാനാഘട്ട് കുന്നിന്‍ മുകളിലുള്ള (പൂണൈയില്‍ നിന്നു 120 കി.മീ. ദൂരെ) ഒരു ഗുഹയില്‍ അക്കങ്ങള്‍ കൊത്തിയ ലിഖിതങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. ചില അക്കങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു. (Journal of Bombay Branch of the Royal Aslatic Society , 1876, Vol,XII.P.404)

 

 

എ.ഡി. ഒന്നോ രണ്ടോ ശ.-ത്തിലേതായി മഹാരാഷ്ട്രയിലെ നാസിക് ജില്ലയിലെ ഗുഹകളില്‍ കണ്ടെത്തിയ ലിഖിതങ്ങളിലും അക്കങ്ങള്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതു കാണാം. (The inscription in the caves at nasik,EI Vol VII,P.47-74).

 

 

പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തത്തോടെ സ്ഥാനക്രമം അനുസരിക്കുന്ന അക്കസമ്പ്രദായവും പൂജ്യവും ഇന്ത്യയിലെന്നപോലെ മറ്റു രാജ്യങ്ങളിലും സ്വീകരിച്ചുകാണുന്നു. പൂജ്യത്തിന്റെയും സ്ഥാനക്രമസമ്പ്രദായത്തിന്റെയും കണ്ടുപിടിത്തം ഇന്ത്യയിലാണെന്നതിന് ഏറ്റവും വലിയ തെളിവും ഇതുതന്നെ.

-, --, =,, എന്നിങ്ങനെ ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് എന്നിവ എഴുതുന്നതുകൊണ്ടുതന്നെ ബ്രാഹ്മി സമ്പ്രദായങ്ങളില്‍ നിന്നും ഇതു വ്യത്യസ്തമാണ്. ഖരോഷ്ടിയിലും സെമിറ്റിക്കിലും I, II, III എന്നിങ്ങനെയാണ് എഴുതുന്നത്. 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, ........., 1000, 2000, ........ എന്നിവയ്ക്കെല്ലാം വ്യത്യസ്തമായ പ്രതീകങ്ങള്‍ ബ്രാഹ്മി അക്കസമ്പ്രദായത്തിലുണ്ട്. എന്നാല്‍ പഴയ ഖരോഷ്ടി അക്കസമ്പ്രദായത്തിലും ആദ്യകാല സെമിറ്റിക് രേഖകളിലും ഹൈറോഗ്ളിഫിക്സ് - ഫിനീഷ്യന്‍ സമ്പ്രദായങ്ങളിലും 1, 10, 20, 100 എന്നിവയ്ക്കു മാത്രമേ പ്രതീകങ്ങളുള്ളു. ചിത്രമെഴുത്തില്‍ നിന്നാണ് ഇന്ത്യയിലെ ബ്രാഹ്മി അക്കസമ്പ്രദായം രൂപപ്പെട്ടത് എന്നാണ് പല (Cunningham) ഇംഗ്ളീഷു ചരിത്രകാരന്മാരുടെയും അഭിപ്രായം.

(ii) ഖരോഷ്ടി അക്കങ്ങള്‍. വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് എഴുതുന്ന ഒരു ലിപി സമ്പ്രദായമാണ് ഖരോഷ്ടി. കിഴക്കന്‍ അഫ്ഗാനിസ്താനിലും വടക്കെ പഞ്ചാബിലും (ഗാന്ധാരം) പ്രധാനമായി കണ്ടെത്തിയ ലിഖിതങ്ങള്‍ ഖരോഷ്ടി ലിപിയിലുള്ളതാണ്. ബി.സി. നാലും മൂന്നും ശ.-ങ്ങളിലാണ് ഇതു പ്രചാരത്തിലിരുന്നത്. അശോകന്റെ ലിഖിതങ്ങളില്‍നിന്നു കണ്ടെത്തിയ ഖരോഷ്ടി ലിപിയില്‍ നാല് അക്കങ്ങളേ ഉള്ളൂ:

ശാകന്മാരുടെയും പാര്‍ത്തിയന്മാരുടെയും കുശാനന്മാരുടെയും ലിഖിതങ്ങളില്‍നിന്നും എ.ഡി. ഒന്നും രണ്ടും ശ.-ങ്ങളിലെ കുറേക്കൂടി പരിഷ്കരിച്ച ഖരോഷ്ടി അക്കങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്.

(iii) കടപയാദി സമ്പ്രദായം. അക്ഷരങ്ങള്‍ അക്കങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതിയും ഇന്ത്യയില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. സംസ്കൃത ഭാഷയിലെ വ്യഞ്ജനങ്ങളും (ഒന്നു മുതല്‍ ഒമ്പതുവരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്ക്) പൂജ്യവും ഉപയോഗിക്കുന്ന അക്ഷരസമ്പ്രദായമാണ് ഇത്. അക്കങ്ങള്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്നതോടൊപ്പം അര്‍ഥം സ്ഫുരിക്കുന്ന വിധത്തില്‍ വ്യഞ്ജനങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്ത് പ്രയോഗിച്ച് കാവ്യാത്മകമായ രീതിയില്‍ അവ സംവിധാനം ചെയ്യാന്‍ പല എഴുത്തുകാര്‍ക്കും കഴിഞ്ഞിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ I (എ.ഡി. 499) ഈ കലയില്‍ അദ്വിതീയനായിരുന്നു. ഈ സമ്പ്രദായമനുസരിച്ചുള്ള പട്ടിക താഴെ കാണാം.

ഈ പട്ടികയില്‍ (ആദ്യത്തെ വരി) ഒന്നിനെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത് കടപയ ആയതിനാല്‍ കടപയാദി എന്ന് ഈ സമ്പ്രദായത്തിന് പേരുണ്ടായി.

എ.ഡി. 6-ാം ശ.-ത്തിലാണ് ഈ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായത്. ഇത് കാണുന്ന ആദ്യത്തെ രേഖ, ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ I-ന്റെ (522) ലഘുഭാസ്കരീയം എന്ന ഗ്രന്ഥമാണ്. ആര്യഭടന്‍ II (950) ഈ സമ്പ്രദായം പരിഷ്കരിച്ച് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ആദ്യത്തെ രീതിയില്‍ സ്വരങ്ങള്‍ സ്വതന്ത്രമായി നില്‍ക്കുമ്പോള്‍ പൂജ്യത്തെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നില്ല. ഇതില്‍ സ്വരങ്ങള്‍ക്ക് പ്രത്യേകിച്ച് അക്കങ്ങളുമായി ബന്ധമില്ല. മുമ്പുണ്ടായിരുന്ന സമ്പ്രദായത്തില്‍ നിന്നും ഇതിന്റെ വ്യത്യാസം, കൂട്ടക്ഷരങ്ങളില്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്ന വ്യഞ്ജനങ്ങള്‍ സ്ഥാനഭേദമനുസിച്ച് പ്രത്യേകം അക്കങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ്. ഇടത്തുനിന്നു വലത്തോട്ട് എന്ന എഴുത്തുരീതിയാണിതില്‍. "ധജഹേ കുനഹേത് സഭാ എന്നത് ആദ്യസമ്പ്രദായത്തില്‍ 47801884-ഉം രണ്ടാമത്തേതില്‍ 48810874-ഉം ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

പാലി അക്ഷരമാലയില്‍ ശ, ഷ എന്നിവയില്ലാത്തതിനാല്‍ സ = 5, ഹ = 6, ഞ (?) = 7 തന്നെയാണ്. ബര്‍മയിലെ (മ്യാന്‍മര്‍) പാലി ഹസ്തലിഖിതങ്ങളില്‍ പരിഷ്കരിച്ച ഈ കടപയാദി സമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

നാലാമത്തെ ഭേദഗതിയാണ് 'കേരളസമ്പ്രദായ'മെന്നു പ്രസിദ്ധമായത്. ഇതും ആദ്യത്തെ സമ്പ്രദായം തന്നെയാണ്. ഇതില്‍ വലത്ത്-ഇടത്ത് എന്ന എഴുത്തുക്രമം മാറ്റി ഇടത്ത്-വലത്ത് എന്ന ക്രമം സ്വീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കേരളം, ആന്ധ്ര, സിലോണ്‍, ബര്‍മ, സയാം (തായ്ലന്‍ഡ്), ശ്രീലങ്ക എന്നിവിടങ്ങളില്‍ പ്രയോഗത്തിലിരുന്ന മറ്റുചില അക്ഷര സമ്പ്രദായങ്ങളുമുണ്ട്. സംസ്കൃതഭാഷയിലെ 16 സ്വരങ്ങളും 34 വ്യഞ്ജനങ്ങളും പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്ന രീതിയാണ് അതില്‍. വ്യഞ്ജനങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ 1 മുതല്‍ 34 സംഖ്യകളെയും അവ തന്നെ 'ആ' കാരാന്ത്യമായി പ്രയോഗിച്ചാല്‍ 35 മുതല്‍ 68 വരെയും അങ്ങനെ തുടര്‍ന്നും പ്രയോഗിക്കാറുണ്ട്. ക, കാ, ..... എന്നു തുടങ്ങിയ 16 അക്ഷരങ്ങള്‍ 1 മുതല്‍ 16 സംഖ്യകളെയും ഖ, ഖാ, ...... എന്നീ പതിനാറെണ്ണം, പതിനേഴു മുതല്‍ മുപ്പത്തിനാലുവരെയും അങ്ങനെ തുടര്‍ന്നുള്ളവയും പ്രയോഗിച്ചിരുന്ന മറ്റൊരു അക്ഷരസമ്പ്രദായവും ഉണ്ടായിരുന്നു. ഇത് ശ്രീലങ്കയിലെ പാലി ഹസ്തലിഖിതങ്ങളിലാണ് കണ്ടെത്തിയിട്ടുള്ളത്. പന്ത്രണ്ട് സ്വരങ്ങളും 34 വ്യഞ്ജനങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ടുള്ള മറ്റൊരു സമ്പ്രദായവുമുണ്ട്, പാലി കയ്യെഴുത്തു പ്രതികളില്‍. ഇതില്‍ ക, കാ, .... എന്നിങ്ങനെ 13 മുതല്‍ 26 വരെയും തുടര്‍ന്നും കാണാം. എ.ഡി. 3-ാം ശ.-ത്തിനു മുമ്പുവരെയെങ്കിലും ഈ അക്ഷരസമ്പ്രദായം വടക്കെ ഇന്ത്യയില്‍ ഉപയോഗിച്ചു കണ്ടിട്ടില്ല.

അക്ഷരപല്ലി. പഴയ ഹസ്തലിഖിതങ്ങളില്‍ അക്കങ്ങള്‍ക്ക് ഉപയോഗിച്ചുകാണുന്ന ശബ്ദങ്ങളുടെ പട്ടിക:

16-ാം ശ. വരെ ജൈനരുടെ ഹസ്തലിഖിതങ്ങളില്‍ അക്ഷരപല്ലി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. അതിനുശേഷം ദശാംശ-അക്കങ്ങള്‍ പ്രയോഗിച്ചു. അക്ഷരപല്ലിയോട് സാദൃശ്യമുള്ള ഒരു സമ്പ്രദായം കേരളത്തില്‍ നിലനിന്നിരുന്നു:

1 = ന, 2 = ന്ന, 3 = ന്യ, 4 = ഷ്ക്ര, 5 = ന്ധ്ര, 6 = ഹാ (ഹ), 7 = ഗ്ര, 8 = പ്ര, 9 = ദ്രെ (?), 10 = മ, 20 = ഥ, 30 = ല, 40 = പ്ത, 50 = ബ, 60 = ത്ര, 70 = രു (ത്രു), 80 = ച, 90 = ണ, 100 = ഞ

നോ: അങ്കപല്ലി, അക്ഷരപല്ലി

പൂജ്യമെന്ന ആശയം. മയന്‍കാരും ബാബിലോണിയക്കാരും ഗണിതസൗകര്യമുള്ള തരത്തിലല്ല അക്കങ്ങള്‍ അംഗീകരിച്ചത്. യഥാക്രമം 20-ഉം 60-ഉം വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്ക് ഒറ്റചിഹ്നങ്ങള്‍ അവര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നില്ലെന്നതാണ് അതിനു കാരണം. ഇന്ത്യയിലാണ് ഈ വഴിക്കുള്ള പുരോഗതിയുണ്ടായത്. ഇന്നു പാശ്ചാത്യ രാജ്യങ്ങളില്‍ ഉപയോഗത്തിലിരിക്കുന്നവിധം പൂജ്യം ആദ്യം പ്രയോഗിച്ചതും ഇന്ത്യക്കാര്‍ തന്നെയാണ്. ഏകദേശം എ.ഡി. 1-ാം ശ.-ത്തില്‍ ഗുജറാത്തിലാണ് പൂജ്യത്തിന് ഒരു പ്രതീകം കണ്ടെത്തിയതെന്നതിന് ചില രേഖകളുണ്ട്. 'ശൂന്യ'മെന്ന് വ്യവഹരിക്കപ്പെടുന്ന പൂജ്യത്തിന് ചിഹ്നമായി ബിന്ദു ആണോ വൃത്തം ആണോ ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചതെന്ന് വ്യക്തമല്ല. എ.ഡി. 800-ല്‍ അറബികള്‍ 'സിഫര്‍' എന്നും പിന്നീട് 'സൈഫര്‍' എന്നും പേരിട്ട് അതു പകര്‍ത്തി. 1200-ലാണ് അത് ലത്തീനില്‍ എത്തിയത്. പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം ഗണിതത്തിലെ ഒരു നിര്‍ണായക സംഭവമാണ്.

(i) പൂജ്യം ഇന്ത്യയില്‍. ബി.സി. 200-നു മുമ്പുതന്നെ പിംഗളന്‍ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ചാന്ദ്രസൂത്രം എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ പൂജ്യത്തിന് 0 എന്ന ചിഹ്നം അളവുകളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ബി.സി. 200-നു മുമ്പുതന്നെ ഇന്ത്യയില്‍ ഈ ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നതിന് ഇതു തെളിവാണ്. ഏകദേശം ഇതേ കാലഘട്ടത്തിലെ ബക്ഷാലി ഹസ്തലിഖിതങ്ങളിലും പൂജ്യത്തിന് 0 എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. പഞ്ചസിദ്ധാന്തിക (505) എന്ന ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രഗ്രന്ഥത്തില്‍ (0) പൂജ്യത്തെ പല സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ട്. വരാഹമിഹിരന്റെ സമകാലികനായിരുന്ന ജിനഭദ്രഗണിയുടെ (529-589) ഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ പൂജ്യത്തിന്റെ ചിഹ്നം ഒരു അക്കമെന്ന നിലയില്‍ കൈകാര്യം ചെയ്തു കാണുന്നു. ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ I (522) മഹാഭാസ്കരീയം എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ പൂജ്യത്തെ മറ്റു സംഖ്യകളില്‍നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്ന സമ്പ്രദായം വിവരിക്കുന്നുണ്ട്. പൂജ്യചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ആര്യഭടീയത്തില്‍ അക്കങ്ങളുടെ സ്ഥാനക്രമസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചു കാണാം. സിദ്ധസേനഗണി (6-ാം ശ.) പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതായി ചില വ്യാഖ്യാനഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ നിന്നു മനസിലാക്കാം. ഇന്ത്യയിലെ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗണിതപ്രക്രിയകള്‍ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെയെല്ലാം ഏതെങ്കിലും ഒരു ചിഹ്നം പൂജ്യത്തിനുപയോഗിച്ചിട്ടുമുണ്ട്.

പൂജ്യത്തിന് ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന ചിഹ്നം വിവിധ രൂപങ്ങളില്‍ ആയിരുന്നു. ബക്ഷാലി കൈയെഴുത്തുപ്രതിയില്‍ ഒരു ബിന്ദു ആണ് ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്. എ.ഡി. 3-ാം ശ.-ത്തിലെ ഈ രേഖയില്‍ ബിന്ദുതന്നെയാണോ എന്ന് പിന്നീട് ലഭ്യമായിട്ടുള്ള (9-ാം ശ.-ത്തില്‍) പ്രതികളില്‍നിന്നുമാത്രം നിശ്ചയിക്കാവുന്നതല്ല. 6-ാം ശ.-ത്തിന്റെ അവസാനകാലത്ത് ജീവിച്ചിരുന്ന സുബന്ധു എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ വാസവദത്ത എന്ന ഗ്രന്ഥത്തില്‍ നിന്ന് ബിന്ദു പൂജ്യത്തെ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതായി മനസിലാക്കാം. ഒരു ബിന്ദു ഒരു സംഖ്യയെ പത്തിരട്ടിയാക്കുന്നതുപോലെ '....' എന്നു ഹിന്ദി കവി ബിഹാരിലാല്‍ (1595-1663?) പ്രയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്.

8-ാം ശ.-ത്തിലെ ജയ്വര്‍ധന്‍ II-ന്റെ രഘോളിത്തകിടുകള്‍ (Ragholi Plates) ആണ് പൂജ്യത്തിന് ചെറിയ വൃത്തം (o) അക്കമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നതിന്റെ, ലഭ്യമായ ഏറ്റവും പ്രാചീനരേഖ. ഭോജദേവന്റെ ഗ്വാളിയര്‍ ലിഖിതങ്ങളില്‍ ചെറുവൃത്തം പൂജ്യചിഹ്നമായി ഉപയോഗിച്ചു കാണുന്നു. 8-ാം ശ.-ത്തിനു മുമ്പു മുതല്‍ ചെറുവൃത്തം പൂജ്യചിഹ്നമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവെന്നു നിശ്ചയിക്കാം.

.... 0 0 0 0 0 ഇങ്ങനെ എഴുതി ഇടത്തുനിന്നു വലത്തോട്ട് ആദ്യത്തെ പൂജ്യം തൊട്ട് ഒന്ന്, പത്ത്, നൂറ്, ആയിരം, .... എന്നിങ്ങനെ സ്ഥാനക്രമം പറയുന്ന സമ്പ്രദായം ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ ക-ന്റെ കാലത്തും ഉണ്ടായിരുന്നു. അങ്കഗണിതത്തെ സംബന്ധിച്ച (പാടിഗണിതം) എല്ലാ ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും അറിയാത്തതിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ചിഹ്നമായി 0 ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. എ.ഡി. 3-ാം ശ.-ത്തിലാണ് പൂജ്യത്തിന്റെ ഈ ഉപയോഗം കണ്ടെത്തിയത്. ബക്ഷാലി ഹസ്തലിഖിതത്തിലും ഇങ്ങനെ പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. അക്കം ഇല്ല എന്നു സൂചിപ്പിക്കയാണ് 0 എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടുദ്ദേശിച്ചിട്ടുള്ളത്.

(ii) പൂജ്യത്തിന്റെ ഗണിതം. പൂജ്യത്തിന്റെ എല്ലാ പ്രയോഗങ്ങളും ഇന്ത്യയില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. മറ്റു സംഖ്യകളോടൊപ്പം പൂജ്യത്തെയും ഇന്ത്യയില്‍ അക്കം എന്ന നിലയില്‍ അംഗീകരിച്ചിരുന്നു.

'പൂജ്യം', 'ശൂന്യം' (0) എന്ന് പറയുന്ന ചിഹ്നം സ്വയം നിന്നാല്‍ ഒരു സംഖ്യയേയും സൂചിപ്പിക്കുന്നില്ല. എന്നാല്‍ ഒരുപൂര്‍ണസംഖ്യയുടെ ഒടുവില്‍ പൂജ്യം വന്നാല്‍ അതിന്റെ മൂല്യത്തെ ഇത് പത്തുമടങ്ങ് വര്‍ധിപ്പിക്കുന്നു. അതുപോലെ, ദശാംശഭിന്നങ്ങളില്‍ ഇടത്തെ അറ്റത്ത് വരുന്ന പൂജ്യം സംഖ്യാമൂല്യത്തെ പത്തിലൊന്നായി കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

വരാഹമിഹിരന്റെ പഞ്ചസിദ്ധാന്തിക എന്ന ജ്യോതിഃശാസ്ത്രഗ്രന്ഥത്തില്‍ പൂജ്യംകൊണ്ടുള്ള സങ്കലനവും വ്യവകലനവും സാന്ദര്‍ഭികമായി പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ട്. ദശാംശഗണിതം മുഴുവനും ആര്യഭടീയവ്യാഖ്യാനത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ 1 (522) ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നു. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തിലും (628) പിന്നീടുള്ള മറ്റു ഗണിത ഗ്രന്ഥങ്ങളിലും പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ക്രിയകള്‍ വിവരിച്ചുകാണാം. അങ്കഗണിതത്തിലും (Arithmetic) ബീജഗണിതത്തിലും (Algebra) വ്യത്യസ്ത രീതിയിലാണ് പൂജ്യം കൈകാര്യം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.

അങ്കഗണിതത്തില്‍, ഒരു സംഖ്യയില്‍ നിന്ന് അതേ സംഖ്യകുറച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന ഫലത്തെയാണ് പൂജ്യമെന്നു നിര്‍വചിച്ചിരിക്കുന്നത്. പൂജ്യംകൊണ്ട് സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവ നടത്താമെന്നും ഹരണം നടത്തരുതെന്നും അങ്കഗണിതത്തില്‍ നിര്‍ദേശിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയോട് പൂജ്യം കൂട്ടിയാല്‍ ഫലം ആ സംഖ്യ തന്നെ; ഒരു സംഖ്യയില്‍ നിന്നു പൂജ്യം കുറച്ചാലും ഫലം ആ സംഖ്യതന്നെ; ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ഫലം പൂജ്യമാണ്. ശ്രീധരാചാര്യനും ആര്യഭടന്‍ II-നും (മഹാസിദ്ധാന്താ) നാരായണാചാര്യനും (പാടിഗണിതം) മഹാവീരാചാര്യനും (ഗണിതസാരസംഗ്രഹം) ഇക്കാര്യങ്ങള്‍ വിവരിക്കുന്നുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യംകൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഫലം ആ സംഖ്യതന്നെയെന്ന് മഹാവീരന്‍ പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നത് അബദ്ധമാണ്. എന്നാല്‍ മഹാവീരനു രണ്ടു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പുതന്നെ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ ശരിയായ ഉത്തരം അതിനു നല്‍കിയിരിക്കെ മഹാവീരന് ഈ തെറ്റു പറ്റിയത് വിചിത്രമായിരിക്കുന്നു.

ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തത്തിലാണ് (628) പൂജ്യത്തെ ബീജീയാങ്കമെന്ന നിലയില്‍ ആദ്യമായി കൈകാര്യം ചെയ്തിരിക്കുന്നത്.

ഋണസംഖ്യയില്‍ നിന്നു പൂജ്യം കുറച്ചാല്‍ ഋണസംഖ്യ തന്നെ ഫലം; ധനസംഖ്യയില്‍ നിന്നാണെങ്കില്‍ ധനസംഖ്യയും; പൂജ്യത്തില്‍നിന്നാണെങ്കില്‍ പൂജ്യവും. ഋണസംഖ്യയും പൂജ്യവും തമ്മിലോ ധനസംഖ്യയും പൂജ്യവും തമ്മിലോ ഗുണിച്ചാല്‍ പൂജ്യമാണ് ഫലം; പൂജ്യങ്ങള്‍ തമ്മിലായാലും പൂജ്യം തന്നെ.

ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ II ലീലാവതി എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലും ഇത്തരം നിഗമനങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തെക്കുറിച്ച് ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട്. പൂജ്യം ഒരു അനന്തസൂക്ഷ്മമായി (Infinitesimal) ബ്രഹ്മഗുപ്താചാര്യന്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. x ÷ 0, 0 ÷ x എന്നിവ x/0, 0/x എന്നിങ്ങനെ എഴുതാം. ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ II ഈ അര്‍ഥത്തില്‍ പൂജ്യത്തെ കലനത്തില്‍ (Calculus) പ്രകടമായി പ്രയോഗിച്ചിട്ടുണ്ട്. x/0 = α(അനന്തം), α+ k = α എന്നീ ഫലഭാഗങ്ങളും അദ്ദേഹത്തിനു വശമായിരുന്നു. = 0 എന്ന് തെറ്റായി ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുള്ളത് ഭാസ്കരാചാര്യന്‍ 11 സീമാസിദ്ധാന്തം (Limit theory) ഉപയോഗിച്ച് തിരുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ആധുനിക സമ്പ്രദായം. ആധുനിക അക്കസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഉറവിടം ഇന്ത്യയിലാണെന്ന് പറയാം. അറബിക് അക്കങ്ങളെന്നു പറയുന്നത് അത്ര ശരിയല്ല. ചരിത്രരേഖകള്‍ വച്ചുനോക്കിയാല്‍ 1, 4, 6 എന്നിവ അശോകന്റെ ശാസനങ്ങളിലും (ബി.സി. 3-ാം ശ.) 2, 4, 6, 7, 9 എന്നിവ നാനാഘട് ശാസനങ്ങളിലും (ബി.സി. 2-ാം ശ.) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 നാസിക് ശാസനങ്ങളിലും (എ.ഡി. ഒന്നും രണ്ടും ശ.-ങ്ങള്‍) കാണാം. മെസപ്പൊട്ടേമിയയിലെ ഒരു മെത്രാനായിരുന്ന സെവേരസ് സെബോക്ടിന്റെ ഒരു രേഖയില്‍ നിന്നാണ് 'ഹിന്ദുഅക്ക'ങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ പരാമര്‍ശം പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു കിട്ടുന്നത്. എ.ഡി. 8-ാം ശ.-ത്തിന്റെ അവസാനത്തില്‍ ചില ഭാരതീയ ജ്യോതിഃശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥങ്ങളുടെ പരാവര്‍ത്തനങ്ങള്‍ അറേബ്യയില്‍ ഉണ്ടായി. അറബി പണ്ഡിതന്മാര്‍ക്ക് ഇന്ത്യന്‍ അക്കങ്ങള്‍ പരിചിതമായിരുന്നു. എ.ഡി. 825-ല്‍ അല്‍-ഖവാരിസ്മി ഇതേപ്പറ്റി ഒരു ബൃഹദ്ഗ്രന്ഥം തന്നെ അറബി ഭാഷയില്‍ രചിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ പരിഭാഷയും പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു കിട്ടി. എ.ഡി. 976-ല്‍ സ്പെയിന്‍ ഭാഷയില്‍ എഴുതിയ ഒരു ഗ്രന്ഥമാണ് ഇക്കാര്യത്തില്‍ യൂറോപ്പുകാരുടെ പ്രമാണം. അറബിവഴിയല്ലാതെ തന്നെ യൂറോപ്പില്‍ ഇന്ത്യന്‍ അക്കങ്ങള്‍ എത്തിയിരുന്നു.

പത്ത് ആധാരമാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള അക്കസമ്പ്രദായം ഇന്ന് അന്താരാഷ്ട്ര ഗണിതഭാഷയായിത്തീര്‍ന്നിരിക്കുകയാണ്. എങ്കിലും ചൈനീസ്, ജപ്പാന്‍, റഷ്യന്‍, ഇംഗ്ളീഷ്, ജര്‍മന്‍, ഗ്രീക് എന്നീ ഭാഷകളില്‍ പ്രചാരമുള്ളത് രണ്ട് ആധാരമാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള പദ്ധതിയാണ് (ദ്വയാംഗ സമ്പ്രദായം). ഇലക്ട്രോണിക് കംപ്യൂട്ടറുകളില്‍ പ്രയോഗിക്കുന്നതും ഈ പദ്ധതി തന്നെ. യാന്ത്രിക സ്വഭാവത്തിനനുയോജ്യമായി വിജ്ഞാനം 'പരാവര്‍ത്തനം' ചെയ്യുവാന്‍ ഉതകുന്ന ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള സമ്പ്രദായം ഈ ദ്വയാങ്കപദ്ധതിയാണ്. ഇതില്‍ 0, 1 എന്നീ ചിഹ്നങ്ങള്‍ മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളു. സംഖ്യകള്‍ ഈ സമ്പ്രദായത്തില്‍ രേഖപ്പെടുത്തുന്ന രീതി താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു.

നോ: അക്ഷരസംഖ്യ; അങ്കഗണിതം; കംപ്യൂട്ടര്‍; കലിസംഖ്യ; പരല്പേര്; സംഖ്യകള്‍

അക്ഷരസംഖ്യ

അക്ഷരങ്ങളെക്കൊണ്ടു നിര്‍ദേശിക്കുന്ന സംഖ്യ. ഒന്നുമുതല്‍ പത്തുവരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കു സൂചകമായി ക്ഞ്പ്താക്ഷരങ്ങള്‍ നല്കി ആ രീതിയില്‍ കാണിക്കുന്ന സംഖ്യ. ഈ ഗണനാസമ്പ്രദായം പ്രാചീനകാലത്ത് സംസ്കൃത പണ്ഡിതന്‍മാരുടെ ഇടയില്‍ നിലവിലിരുന്നു. ഇതിനെ അനുകരിച്ച് മലയാളത്തിലും പ്രയോഗത്തില്‍ വന്നു. ഇതിനെ 'കടപയാദി' എന്നും 'പരല്പേര്' എന്നും പറയാറുണ്ട്.

അക്ഷരസംഖ്യയുടെ സ്വരൂപം താഴെക്കൊടുക്കുന്നു.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

ക ഖ ഗ ഘ ങ ച ഛ ജ ഝ ഞ

ട ഠ ഡ ഢ ണ ത ഥ ദ ധ ന

പ ഫ ബ ഭ മ

യ ര ല വ ശ ഷ സ ഹ ള ഴറ

ഈ രീതിയനുസരിച്ച് ക, ട, പ, യ = 1, ഖ, ഠ, ഫ, ര = 2 എന്ന് മുറയ്ക്ക് അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കുള്ള അക്കങ്ങള്‍ കണക്കാക്കുന്നു. അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കുള്ള അക്കങ്ങള്‍ എഴുതിമറിച്ചു വായിച്ചാണ് ഫലം കണ്ടുപിടിക്കുന്നത്. ഉദാ. തരം = 62 പക്ഷേ ഇതിന്റെ ഫലം 26 എന്നാണ്. നോ: അക്കങ്ങള്‍

അങ്കഗണിതം

വാസ്തവിക ധനസംഖ്യകളെയും അവയുടെ പ്രയോഗത്തെയും പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്ന ഗണിതശാഖ. ബീജഗണിതത്തിന്റെ മുന്നോടിയാണ് ഇത്. അമൂര്‍ത്തമായ ഏറെ സങ്കല്പങ്ങള്‍ അങ്കഗണിതത്തിലില്ല. സാധാരണജീവിതത്തില്‍ ആവശ്യമായ ഗണിതമാണിത്. മനുഷ്യസംസ്കാരത്തിന്റെ ആവശ്യങ്ങളനുസരിച്ച് വികസിച്ചതാണ് ഈ ഗണിതശാഖ. ആടുമാടുകളുടെയും ആയുധങ്ങളുടെയും എണ്ണം തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ പ്രാചീനമനുഷ്യന് കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല. സംഖ്യാസമ്പ്രദായം അവന് പരിചയമില്ലായിരുന്നു. ഓരോന്നിനോടും ഇണങ്ങിച്ചേരുംവിധം (ഒന്നിനൊന്ന് അനുയോഗം) ഓരോ കല്ല് കണക്കിലെടുക്കുകയായിരുന്നിരിക്കണം അന്നു പതിവ്. ചെറിയവരകള്‍ ഉപയോഗിച്ചും കൈവിരലുകളില്‍ എണ്ണം പിടിച്ചും ഇന്നത്തെ രീതിയിലേക്ക് ആ ഗണനസമ്പ്രദായം പരിഷ്കരിക്കപ്പെട്ടു.

അങ്കഗണിതത്തിന് അരിത് മെറ്റിക് (Arithmetic) എന്നാണ് ഇംഗ്ളീഷിലുള്ള പേര്. സംഖ്യയെന്നര്‍ഥമുള്ള അരിത്മോസ് എന്ന ഗ്രീക്കുപദത്തിന്റെ തദ്ഭവമാണ് അരിത് മെറ്റിക്.

അങ്കഗണിതത്തില്‍ മൗലികമായി നാലു ക്രിയകളുണ്ട്: കൂട്ടല്‍ (സങ്കലനം), കുറയ്ക്കല്‍ (കിഴിക്കല്‍, വ്യവകലനം), ഗുണിക്കല്‍ (പെരുക്കല്‍, ഗുണനം), ഹരിക്കല്‍ (ഹരണം). ഇവയുടെ പ്രയോഗം, ഘടകക്രിയ, ലഘുതമസാധാരണഗുണിതം (ലസാഗു), ഉത്തമസാധാരണഘടകം (ഉസാഘ) എന്നിവയും ഭിന്നിതങ്ങളുടെ പ്രയോഗം, അനുപാതം, ത്രൈരാശികം, മാനനിര്‍ണയം, വ്യാവസായികഗണിതം, ശതമാനം, പലിശ, സ്റ്റോക് നിക്ഷേപങ്ങള്‍, ബില്‍ ഡിസ് ക്കൗണ്ട് -- എന്നീ പ്രായോഗികപ്രാധാന്യമുള്ള വിഷയങ്ങളുമാണ് അങ്കഗണിതത്തില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്.

വ്യാവസായികകാര്യങ്ങളില്‍ ഇടപെടാനായി വേണ്ടത്ര ഗണിത പരിശീലനം കിട്ടുന്നതിനും യുക്തിപരീക്ഷണമെന്ന നിലയില്‍ മാനസികമായ അച്ചടക്കമുണ്ടാകുന്നതിനും അങ്കഗണിതം ആവശ്യമാണ്. ഗുണനപ്പട്ടിക ഹൃദിസ്ഥമാക്കുന്നതുകൊണ്ട് നിത്യോപയോഗമുള്ള കണക്കുകള്‍ എളുപ്പത്തില്‍ ചെയ്യാന്‍ കഴിയും.

ഗണിതചിഹ്നങ്ങളുടെ കണ്ടുപിടിത്തം. അങ്കഗണിതത്തില്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന ചിഹ്നങ്ങളാണ് +, -, x, ÷ എന്നിവ. ഇവ യഥാക്രമം കൂട്ടല്‍, കുറയ്ക്കല്‍, ഗുണിക്കല്‍, ഹരിക്കല്‍ എന്നീ ഗണിതക്രിയകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. '+' എന്ന സങ്കലനചിഹ്നവും '-' എന്ന വ്യവകലനചിഹ്നവും ജോഹാന്‍ വിഡ്മാന്‍ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ 1489-ല്‍ പ്രസിദ്ധം ചെയ്ത അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലാണ് ആദ്യമായി അച്ചടിയില്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു. ഇംഗ്ളീഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വില്യം ഔട്രഡ് (1574-1660) പ്രസിദ്ധപ്പെടുത്തിയ ക്ളാവിസ് മാത്തമാറ്റിക്ക (Clavis Mathematica, 1631) എന്ന ഗ്രന്ഥമാണ് 'x' എന്ന ഗുണനചിഹ്നം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന അച്ചടിഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും പഴയതായി അറിയപ്പെടുന്നത്. 1668-ല്‍ ജോണ്‍പെല്‍ (1610-1685) ലണ്ടനില്‍ പ്രസിദ്ധംചെയ്ത ഒരു ഗ്രന്ഥത്തിലാണ് '÷' എന്ന ഹരണചിഹ്നം ആദ്യമായി പ്രയോഗിച്ചുകാണുന്നത്. '=' എന്ന സമചിഹ്നം ആദ്യമായി അച്ചടിച്ചുകണ്ടത് റോബര്‍ട്ട് റിക്കോര്‍ഡ് 1557-ല്‍ പ്രസിദ്ധം ചെയ്ത ആള്‍ജിബ്ര എന്ന ഗ്രന്ഥത്തിലാണ്.

ഘാതം (Exponent). ഒരു സംഖ്യയെ അതുകൊണ്ടുതന്നെ ഗുണിക്കുന്ന ക്രിയയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് ഘാതക്രിയകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഉദാ. 2 x 2 x 2 = 2³. ഇതില്‍ 2 പാദവും (base), 3 അതിന്റെ ഘാതവുമാണ്. ഘാതക്രിയാനിയമങ്ങള്‍ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു:

ഓരോ ഘാതക്രിയയുടെയും വ്യാഖ്യാനം എഴുതി ഈ നിയമങ്ങള്‍ തെളിയിക്കാവുന്നതാണ്. നിസര്‍ഗസംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച് ഇവ തെളിയിക്കാന്‍ ഈ മാര്‍ഗം സ്വീകാര്യമാണെങ്കിലും, ഭിന്നിതങ്ങളെയും ഋണാത്മകഘാതങ്ങളെയും സംബന്ധിച്ച് ചില വ്യാഖ്യാനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ മാത്രമേ ഈ നിയമങ്ങള്‍ പ്രയോഗക്ഷമമാകുന്നുള്ളു. അഥവാ, ഈ നിയമങ്ങള്‍ സ്വീകാര്യമാകുന്നവിധത്തിലാണ് ഋണാത്മകഘാതം നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്. അതായത്, 2^-8 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍  ; 2°, എന്നുവേണ്ട ഏതു സ്ഥിരസംഖ്യയ്ക്കും (പൂജ്യം ഒഴികെ) 0 ഘാതമാണെങ്കില്‍ അതിന്റെ ഫലം 1 ആയിരിക്കും.

ബീജീയ നിയമങ്ങള്‍ (Algebraic laws). നിസര്‍ഗ സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം അപ്രധാനമാണെങ്കിലും ബീജഗണിതത്തില്‍ പ്രാധാന്യമുള്ള ഗണിതക്രിയാനിയമങ്ങളുണ്ട്; വിനിമേയനിയമം (Commutative law), സാഹചര്യനിയമം (Associative law), വിതരണനിയമം (Distributive law) എന്നിവ. വ്യത്യസ്തക്രിയകളെ ആധാരമാക്കി ഈ നിയമങ്ങള്‍ നിര്‍വചിക്കാവുന്നതാണ്. ഇവിടെ കൂട്ടല്‍, ഗുണിക്കല്‍ എന്നിവയെ സംബന്ധിച്ചു മാത്രമേ വ്യവഹരിക്കുന്നുള്ളു.

(i) വിനിമേയ നിയമം. പദങ്ങളുടെ (terms) ക്രമം മാറ്റിയിട്ടാലും ഫലത്തില്‍ മാറ്റമില്ല.

ഉദാ. 3 + 5 = 5 + 3 (സങ്കലന വിനിമേയനിയമം)

3 x 5 = 5 x 3 (ഗുണനാത്മക വിനിമേയനിയമം)

(ii) സാഹചര്യനിയമം. രണ്ടിലേറെപദങ്ങള്‍ (terms) തമ്മിലുള്ള ക്രിയയില്‍ ഈ രണ്ടെണ്ണം എടുത്തിട്ടാണ് ക്രിയ മുഴുമിപ്പിക്കുന്നത്. ആദ്യത്തെ രണ്ടെണ്ണം തമ്മിലുള്ള ക്രിയയ്ക്കുശേഷം ആ ക്രിയാഫലവും മൂന്നാമത്തെ പദവും തമ്മിലുള്ള ക്രിയ ചെയ്യുന്നു; ഇതിനുപകരം രണ്ടും മൂന്നും ചേര്‍ത്തതിനുശേഷം ആ ഫലവും ആദ്യത്തെ പദവും തമ്മില്‍ ക്രിയ ചെയ്യുന്നു. ഇങ്ങനെ രണ്ടു തരത്തില്‍ ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ട് ഫലത്തില്‍ വ്യത്യാസം വന്നേക്കാം. എന്നാല്‍ നിസര്‍ഗസംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച് വ്യത്യാസമില്ല.

(iii) വിതരണ നിയമം. രണ്ടു ക്രിയകള്‍ ഉള്‍ പ്പെടുന്നതാണ് ഈ നിയമം.

ഉദാ. 3 + (5+7) = 3 + 5 + 3 + 7

സാധാരണ സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം ക്രമവിനിമേയനിയമം, സാഹചര്യനിയമം, വിതരണനിയമം എന്നീ ബീജീയാശയങ്ങള്‍ക്കു വലിയ പ്രസക്തിയില്ല. പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണമൊഴിച്ച് മറ്റെല്ലാ ക്രിയകളും ചെയ്യാവുന്നതാണ്. അങ്കഗണിതത്തില്‍ ഇവ എടുത്തുപറയേണ്ടതില്ല. വിപുലമായ ആധുനികഗണിതശാഖയായി അങ്കഗണിതം വളര്‍ന്നു വന്നിട്ടുള്ളതില്‍ ഈ നിയമങ്ങള്‍ക്കു പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

ഘടകക്രിയ (Factorisation). ഏതു പൂര്‍ണസംഖ്യയും അതിന്റെ അവിഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ ഗുണിതമായി പിരിച്ചെഴുതാന്‍ കഴിയും. ഒന്നാം സ്ഥാനത്തെ അക്കം ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ 2-ഉം അക്കങ്ങളുടെ ആകത്തുകയെ 3 കൊണ്ടു കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ 3-ഉം ഒന്നാം സ്ഥാനത്ത് 0, 5 എന്നിവയാണെങ്കില്‍ 5-ഉം ഘടകമായിരിക്കും. ഇത്തരം സൂചനകള്‍കൊണ്ട് ഘടകങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയും.

ലസാഗു, ഉസാഘ (L.C.M.,G.C.D). നിര്‍ദിഷ്ടമായ സംഖ്യകള്‍ എല്ലാം ഘടകമായിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണ് ലഘുതമ സാധാരണ ഗുണിതം (ലസാഗു); ഈ സംഖ്യകളെ കൃത്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും വലിയ ഘടകമാണ് ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം (ഉസാഘ). ചുരുങ്ങിയത് രണ്ടെണ്ണത്തെയെങ്കിലും ഹരിക്കാവുന്ന ഘടകങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിച്ച് അവയെ ഗുണിച്ചാല്‍ ലസാഗു കിട്ടും. ഉദാ. ആദ്യത്തെ ഘടകം ആയ 2 ഉസാഘയും 2 x 2 x 8 x 5 x 9 = 1440 ലസാഗുവുമാണ്.

ഭിന്നിതം (fraction). ഭിന്നിതങ്ങള്‍ രണ്ടുതരമുണ്ട്: ക്രമഭിന്നിതം, അക്രമഭിന്നിതം. ഹാര്യം ഹാരകത്തെക്കാള്‍ ചെറുതാണെങ്കില്‍, അഥവാ ഭിന്നിതത്തിന്റെ മൂല്യം ധനാത്മകവും 1-നേക്കാള്‍ കുറവുമാണെങ്കില്‍ ആ ഭിന്നിതം ക്രമവും മറിച്ചാണെങ്കില്‍ അക്രമവുമാണ്. രണ്ടു ഭിന്നിതങ്ങള്‍ കൂട്ടുമ്പോഴും കുറയ്ക്കുമ്പോഴും അവയുടെ ഹാരകങ്ങളുടെ ലസാഗുവിലേക്ക് രണ്ടു ഹാര്യങ്ങളും ക്രമപ്പെടുത്തുന്നു. ഗുണിക്കുമ്പോള്‍ ഹാര്യങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഹാരകങ്ങള്‍ തമ്മിലും ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്നവയുടെ ഭിന്നിതമായിരിക്കും ഫലം. ഹരിക്കുന്നതിന് ഹാരകഭിന്നിതത്തിന്റെ വ്യുത്ക്രമംകൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയാണ് ചെയ്യുന്നത്. ഉദാ.

വര്‍ഗമൂലം, ഘനമൂലം (Square root,Cube root). 4 x 4 = 16, 2 x 2 x 2 = 8. അതുകൊണ്ട് 16-ന്റെ വര്‍ഗമൂലം 4, 8-ന്റെ ഘനമൂലം 2. 762129-ന്റെ വര്‍ഗമൂലവും 32768-ന്റെ ഘനമൂലവും കാണാം. ദശാംശബിന്ദുവില്‍നിന്ന് 2 അക്കങ്ങള്‍ വീതം ഇരുവശത്തേക്കും തുടര്‍ച്ചയായി അടയാളപ്പെടുത്തുക. 76-ല്‍ താഴെയുള്ള ഏറ്റവം വലിയ വര്‍ഗമാണ് 8² = 64. വലതുവശത്ത് 8 എഴുതുന്നു. 64 കഴിച്ച് ശിഷ്ടം 12. അടുത്ത രണ്ടക്കങ്ങള്‍ (21) താഴേക്കു ചേര്‍ ത്തെഴുതുമ്പോള്‍ 1221 ആകുന്നു. 8-ന്റെ 2 ഇരട്ടി ഇടതുവശത്തെഴുതി 7-ഉം കൂടി 167 ആയി.

167-നെ 7 കൊണ്ടു ഗുണിക്കുമ്പോള്‍ 1221-ല്‍ താഴെ 1169 കിട്ടും; 168-നെ 8 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ 1221-ല്‍ കവിയും. അതുകൊണ്ട് വലതുവശത്ത് 87 ആയി. വീണ്ടും ഇടതുവശത്ത് 87-ന്റെ 2 ഇരട്ടി 174 എന്നെഴുതുന്നു. 1743-നെ 3 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ 5229 ആയി; 1744-നെ 4 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ 5229-ല്‍ കവിയും. കൃത്യമായി നില്ക്കുന്നതിനാല്‍ 873 ആണ് വര്‍ഗമൂലം. കൃത്യമല്ലാതെ വന്നാല്‍ ഈ പ്രക്രിയ തുടര്‍ന്നു ചെയ്യാം.

ഘനമൂലം നിര്‍ണയിക്കുന്ന മാര്‍ഗം. സംഖ്യയുടെ ഒന്നാം സ്ഥാനം ഘനസ്ഥാനം; പിന്നെ രണ്ടു സ്ഥാനങ്ങള്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ വീണ്ടും ഘനസ്ഥാനം; പിന്നെ രണ്ടു സ്ഥാനങ്ങള്‍ കഴിഞ്ഞ് വീണ്ടും എന്നിങ്ങനെ തുടരുന്നു. ഇടത്തേ അറ്റത്തെ ഘനസ്ഥാന (32)ത്തുനിന്നു ഘനം 3³ കളഞ്ഞു ശിഷ്ടം കാണുക. അടുത്ത ഒരു സ്ഥാനം താഴേക്കിറക്കുന്നു. 57 ആയി. വലതുവശത്തു ചേര്‍ത്ത സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ(3²)ത്തെ 3 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചുകിട്ടുന്ന 3² x 3 കൊണ്ട് 57-നെ ഹരിച്ചാലുണ്ടാകുന്ന ഹരണഫലം 2; അതുകൊണ്ട് 3-നെ 2² കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ആ സംഖ്യകൊണ്ട് 36-നെ ഹരിച്ചുണ്ടാകുന്ന ഫലം 3 കണ്ടുപിടിക്കുക. ഈ 3 കൊണ്ട് 3 x 2²-നെ ഗുണിച്ച് 36-ല്‍ നിന്നു കുറയ്ക്കുന്നു. ശിഷ്ടം 0. അടുത്ത ഘനസ്ഥാനം 8 താഴേയ്ക്കിറക്കുന്നു. 2³ ഈ 8-ല്‍ നിന്നു കുറയ്ക്കുമ്പോള്‍ ശിഷ്ടം 0 ആയതിനാല്‍ ഘനമൂലം 32 തന്നെ.

അനുപാതം (Proportion). 3, 5 എന്നിവയുടെ അംശബന്ധവും (Ratio) 6, 10 എന്നിവയുടെ അംശബന്ധവും തുല്യമാണ്: . ഈ സംഖ്യകള്‍ ഒരേ അനുപാതത്തിലാണെന്നര്‍ഥം.

ത്രൈരാശികം. അനുപാതത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ത്രൈരാശികം ചെയ്യുന്നത്. ഒരനുപാതത്തിലെ മൂലകങ്ങളില്‍ ഏതെങ്കിലും മൂന്നെണ്ണം അറിഞ്ഞാല്‍ നാലാമത്തേത് കണ്ടുപിടിക്കാം.

മാനനിര്‍ണയം (Mensuration). വസ്തുക്കളുടെ വിസ്തീര്‍ണം, ഘനമാനം, ചുറ്റളവ് എന്നിവ കണക്കാക്കുന്ന അങ്കഗണിതശാഖ. വ്യാസാര്‍ധം r ആയിട്ടുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി 2πr, വിസ്തീര്‍ണം πr²; r സമതലവ്യാസാര്‍ധവും h ഉയരവുമുള്ള വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീര്‍ണം 2πrh + 2πr²; ഘനമാനം πr²h; r വ്യാസാര്‍ധവുമുള്ള ഗോളത്തിന്റെ പ്രതലവിസ്തീര്‍ണം 4πr², ഘനമാനം πr³ ഉയരവും l ചരിവുനീളവും r സമതല വ്യാസാര്‍ധവുമുള്ള സ്തൂപിക(cone)യുടെ പ്രതലവിസ്തീര്‍ണം πrl+ πr² ഘനമാനം πr² h ഈ വ്യഞ്ജകങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തിയിട്ടുള്ളത് ബീജഗണിതം, കലനം എന്നീ ഗണിതശാഖകളിലൂടെയാണ്. പ്രായോഗികവശം മാത്രമേ അങ്കഗണിതത്തിലുള്ളു.

വ്യാവസായിക ഗണിതം. 100-ന് ഇത്രയെന്ന കണക്കാണ് ശതമാനം. % എന്ന ചിഹ്നംകൊണ്ടാണ് ശതമാനം രേഖപ്പെടുത്തുക. മുതല്‍ സംഖ്യ (P), n വര്‍ഷത്തേക്ക് r ശ.മാ. ലഘുപലിശയ്ക്കിട്ടാല്‍ മുതലും പലിശയും കൂടി = ആയിത്തീരും.കൂട്ടുപലിശയാണെങ്കില്‍ആണ് പലിശയടക്കം മുതല്‍. അങ്കഗണിതനിയമങ്ങള്‍ പ്രയോജനപ്പെടുത്തി മറ്റു വ്യാവസായികഗണിതവും സാധിക്കുന്നു.

കൂട്ടല്‍, കുറയ്ക്കല്‍, ഗുണനം, ഹരണം, വര്‍ഗനിര്‍ണയം, വര്‍ഗമൂലനിര്‍ണയം, ഘനനിര്‍ണയം, ഘനമൂലനിര്‍ണയം എന്നീ എട്ടു ക്രിയകളെ ഭാരതീയരായ പൂര്‍വികന്മാര്‍ പരികര്‍മാഷ്ടകമെന്നു പറഞ്ഞിരുന്നു. ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ലീലാവതി എന്ന ഗണിതഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഈ ക്രിയകള്‍ വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നോ: അംശബന്ധം, അനുപാതം; ആള്‍ജിബ്ര; മാനനിര്‍ണയം; ലീലാവതി; സംഖ്യാപദ്ധതികള്‍

അങ്കഗണിതഫലനം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍, ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയെ (positive integer) മറ്റൊന്നായി രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ അത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ക്രിയ. വിപുലമായ അര്‍ഥത്തില്‍, ഒരു വസ്തു മറ്റൊന്നായി മാറുമ്പോള്‍ ആ പ്രക്രിയയില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ക്രിയയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഫലനം. ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂന്നിരട്ടിയോട് അഞ്ച് ചേര്‍ത്താല്‍ മറ്റൊരു സംഖ്യയുണ്ടാകുന്നു. ഇതില്‍ സാമാന്യമായി സംഖ്യയെ n എന്നു സൂചിപ്പിച്ചാല്‍ പുതിയ സംഖ്യ 3n + 5 എന്നായിരിക്കും. 3n + 5 എന്ന സംഖ്യ രൂപപ്പെടാന്‍ n എന്ന സംഖ്യയില്‍ ഏല്പിക്കുന്ന ക്രിയയ്ക്കാണ് ഇവിടെ n-ന്റെ ഫലനമെന്നു പറയുന്നത്: f(n)= 3n + 5. n ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയാകുമ്പോള്‍ 3n+ 5-ഉം ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയാകുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഇവിടെ ള ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണ്.

സംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകള്‍ സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത(Theory of numbers)ത്തിലൂടെ ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാഖയാണ് ഇത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നത്. ധനപൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് ഇതിലെ പ്രധാന പ്രമേയം. ഉദാഹരണമായി ഏതു സംഖ്യയുടെയും രണ്ടിരട്ടി എന്ന ആശയം ഫലനംവഴി സൂചിപ്പിക്കാം.f(n) = 2n എന്ന നിര്‍വചനംകൊണ്ട് മേല്‍പറഞ്ഞ അര്‍ഥം വ്യക്തമാക്കാവുന്നതാണ്. ഇവിടെ n എന്നത് ഏതു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയുമാകാം. n = 3 ആണെങ്കില്‍, f(3) = 6 എന്നു ലഭിക്കുന്നു. ഇതിന്നര്‍ഥം : 3-ന്റെ രണ്ടിരട്ടി സമം 6. ഇതില്‍ ള ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണ്. മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തിന്റെ, ധനപൂര്‍ണസംഖ്യാഗണത്തിലേക്കുള്ള ഒരു രൂപാന്തരമാണ് അങ്കഗണിതഫലനം അഥവാ സംഖ്യാഫലനം എന്നു നിര്‍വചിക്കാം. അതായത് ഒരു മിശ്രസംഖ്യ ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇതിലുള്‍പ്പെടുന്ന നിയമമാണ് സംഖ്യാഫലനം. ധനപൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ സവിശേഷതകള്‍ പരിഗണിച്ച് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തചരിത്രം (History of Number Theory) എഴുതിയ എല്‍.ഇ. ഡിക്സണ്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. I(n), E(n), d(n), μ(n), E₀(n) എന്നിവ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അവിഭാജ്യഘടകങ്ങളായി n പിരിച്ചെഴുതിയാല്‍ n=p₁^a₁p₂^a₂......p_r^a_rഎന്നൊരു രൂപമുണ്ടാകുന്നു. P₁, P₂........ എന്നിവ വ്യത്യസ്തമായ അവിഭാജ്യഘടകങ്ങളാണ്. എങ്കില്‍ I(n) =n,E(n) = 1. n-ന്റെ ആകെയുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് d(n); μ(1) = 1, μ (p₁, ...........p_r) = (-1)^r, μ(p²) = 0. അതായത് n-ന് ഏതെങ്കിലുമൊരു വര്‍ഗസംഖ്യ (square) ഘടകമായുണ്ടെങ്കില്‍ ആ സംഖ്യയെ സംബന്ധിച്ച് μ എന്ന അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ മൂല്യം 0 ആണ്; E₀(1) = 1, മറ്റെല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ക്കും E₀(n)=0. കുറെക്കൂടി ഉയര്‍ന്നതരം ഫലനങ്ങളാണ് φ(n), σ(n) എന്നിവ. ഓയിലര്‍ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരിലറിയപ്പെടുന്ന φ(n) (ഓയിലര്‍ ഫലനം) അങ്കഗണിതഫലനത്തില്‍ വളരെ പ്രാധാന്യമര്‍ഹിക്കുന്നു. ടോഷന്റ് ഫലനം (Totient function) എന്ന വര്‍ഗത്തില്‍പ്പെടുന്നു ഇത്. n = 12 എങ്കില്‍, 12-ല്‍ താഴെ 12-നോടു പൊതുഘടകമില്ലാത്ത ധനപൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ് φ(12) സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഘടകങ്ങള്‍ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍ 1, 5, 7, 11 എന്നിവയുടെ എണ്ണം. അതായത്, φ(12) = 4. 1, 2, 3, 4, 6, 12 ആണ് 12-ന്റെ ഘടകങ്ങള്‍. അതുകൊണ്ട് d(12) = 6, σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. അതായത് ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

കോണ്‍വല്യൂഷനുകള്‍ (Convolutions). രണ്ട് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ ഗുണനാടിസ്ഥാനത്തില്‍ ബന്ധപ്പെടുന്ന സമ്പ്രദായമാണ് കോണ്‍വല്യൂഷന്‍. മൂലസംഖ്യയുടെ (argument) ഗുണനഘടകങ്ങളുടേയും സങ്കലനപദങ്ങളു(addition bterms)ടേയും അടിസ്ഥാനങ്ങള്‍ അനുസരിച്ച് രണ്ടുതരത്തില്‍ കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ ഉണ്ടാകുന്നു. ഇതില്‍ ആദ്യത്തേതിന് ഡിറീക്ലെ സംയോഗം (Dirchlet Composition ) എന്നും രണ്ടാമത്തേതിന് കോഷി സംയോഗം (Cauchy Composition ) എന്നും ആദ്യമായി പറഞ്ഞത് ഇ.ടി. ബെല്‍ ആണ്. ള, ഴ, വ എന്നീ സംഖ്യാഫലനങ്ങള്‍ താഴെ കൊടുക്കുന്ന തരത്തില്‍ ബന്ധപ്പെട്ടിരുന്നാല്‍, അതായത് h (n) = എന്നാണെങ്കില്‍ f,g എന്നിവയുടെ ഒരു (ഡിറീക്ലെ) സംയോഗം ആണ് h എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. h(n) = എന്നാണെങ്കില്‍ f,g എന്നിവയുടെ കോഷി സംയോഗവും. nന്റെ ഘടകങ്ങളെയാണ് d സൂചിപ്പിക്കു ന്നത്. ഘടകങ്ങളില്‍ n-ഉം ഉള്‍പ്പെടുന്നു. പഠനവിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന സംയോഗമാണ് ആദ്യത്തേത്.

1930-തിനോടടുത്ത് (മദ്രാസ് യൂണിവേഴ്സിറ്റിയില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രവിഭാഗം പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്നു) ആര്‍. വൈദ്യനാഥസ്വാമി തന്റെ മെമോയര്‍ ഓണ്‍ മള്‍ട്ടിപ്ളിക്കേറ്റീവ് ഫങ്ഷന്‍സ് (Memoir on Multiplicative Functions) എന്ന ഗവേഷണപ്രബന്ധം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അതില്‍ നാലുതരം യോഗങ്ങളെപ്പറ്റി പറയുന്നു: സംയോഗം (കോമ്പോസിഷന്‍), കോണ്‍വല്യൂഷന്‍, ഫലനഗുണനം (മള്‍ട്ടിപ്ളിക്കേഷന്‍), ബ്ളോക് കോണ്‍വല്യൂഷന്‍.

ആദ്യം ഉദാഹരണമായി കാണിച്ച ഡിറിക്ലെ സംയോഗത്തെയാണ് സാധാരണയായി സംയോഗം എന്നു പറയുന്നത്; n എന്നതിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ഉപയോഗപ്പെടുത്തി എഴുതാവുന്ന എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക. ഉദാ.

ഇതില്‍ 

എന്ന അങ്കനംകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്: n-ന്റെ ബ്ളോക്ക് ഘടകം, ഏകകഘടകം അഥവാ യൂണിറ്ററി ഘടകം ആണ് dഎന്ന ധനപൂര്‍ണസംഖ്യ. രണ്ടു പൂരക ഘടകങ്ങള്‍ക്കു തമ്മില്‍ പൊതുഘടകം 1 (ഒന്ന്) ഒഴികെ മറ്റൊന്നും ഇല്ലെങ്കില്‍ അവയെ ബ്ളോക്ക് ഘടകങ്ങള്‍ എന്നു പറയുന്നു. ഉദാ. 1, 3, 4, 12 എന്നിവ 12-ന്റെ ബ്ളോക്ക് ഘടകങ്ങളാണ്.

h (12) = f(1) g(12) + f(3) g(4) + f(4) g(3) + f(12) g(1).

ഇത്തരം കോണ്‍വല്യൂഷനുകള്‍ വേറെയുമുണ്ട്. സാധാരണ കോണ്‍വല്യൂഷനായ സംയോഗത്തിന്റെ സാമാന്യരൂപങ്ങളാണ് a-ഗുണനം, k-ഗുണനം എന്നിവ.

(1) a-ഗുണനം. a(m,n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു കരുതുക; m, n എന്നീ രണ്ടു പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള ഫലനം. എങ്കില്‍, h (n) = d/n-w എന്നത് f,g എന്നിവയുടെ a-ഗുണനമാണ്. a-ഫലനത്തെ കെര്‍ണല്‍ (കാതല്‍ = Kernel) എന്നു പറയുന്നു.

(ii) k-ഗുണനം. k(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു കരുതുക. h (n) =(a) g(b). ഇതിന് f, g എന്നിവയുടെ k-ഗുണനമെന്നുപറയുന്നു. ഇവിടെ a,bസാമാന്യമായത്. a-ഗുണനത്തില്‍ സ-ഗുണനവും സാധാരണ സംയോഗവും ഇത്തരം മറ്റനവധി കോണ്‍വല്യൂഷനുകളും അടങ്ങിയിട്ടുണ്ട്. a-ഫലനത്തിന്റെ പ്രത്യേകതയനുസരിച്ച് a-ഗുണനത്തിന്റെ സ്വഭാവം മാറുന്നു.

പ്രതിലോമഫലനം (Inverse function ). f,g ഫലനങ്ങളുടെ സംയോഗത്തിന്റെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്ന ഫലനം E₀ ആണെങ്കില്‍, അതായത് = E₀ (n) എങ്കില്‍ f-ഉം g-ഉം പരസ്പരം പ്രതിലോമഫലനങ്ങളാണെന്നു പറയുന്നു. f-ന്റെ പ്രതിലോമഫലനത്തെ f ^-1 (എഫ് പ്രതിലോമം) എന്നു രേഖപ്പെടുത്താറുണ്ട്. ഓരോ കോണ്‍വല്യൂഷനെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി f-ന് പ്രതിലോമമുണ്ടായിരിക്കും. അഥവാ പ്രതിലോമഫലനം ഉണ്ടാക്കുന്ന പ്രക്രിയയ്ക്കു മാത്രമേ കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ എന്നു പറയാവൂ. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തത്തില്‍ കാണുന്ന പ്രതിലോമതത്ത്വം തന്നെയാണിവിടെയും (നോ: ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം). അതായത് കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ എന്നത് ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ക്രിയയാണ്. അപ്പോള്‍ രണ്ട് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ വഴി കൂടിച്ചേരുമ്പോള്‍ മൂന്നാമതൊരു അങ്കഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഏത് അങ്കഫലനത്തിനും കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ ക്രിയയിലൂടെ ഒരു പ്രതിലോമഫലനമുണ്ടാകുന്നു; ഈ ക്രിയയുടെതന്നെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു ഏകകഫലനമുണ്ടാകുന്നു. ഇത്രയുമായാല്‍ അങ്കഗണിതഫലനഗണം തന്നെ സാങ്കേതികാര്‍ഥത്തില്‍ കോണ്‍വല്യൂഷന്‍ ക്രിയ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ആണെന്നു പറയാം.

ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനം (Multiplicative functions). അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ പൊതുവേ അനവധി മൂലകാങ്കങ്ങളെ ആധാരമാക്കിയാകാം:

f(m₁,m₂, .........., m_r). (m₁n₁, m₂n₂) = 1 ആകുമ്പോള്‍, f(m₁,m₂) f(n₁,n₂) = f(m₁n₁, m₂n₂) ആണെങ്കില്‍, f(m₁,m₂) ഒരു ഗുണനാത്മക അങ്കഗണിതഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു. ഒരു വ്യവസ്ഥയുമില്ലാതെ തന്നെ f(m₁,m₂) f(n₁,n₂) = f(m₁n₁, m₂n₂) ആണെങ്കില്‍, f(m₁,m ഒരു ലീനിയര്‍ അഥവാ മുഴുഗുണനാത്മകഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു. മൌലിക-അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ എല്ലാംതന്നെ ആദ്യത്തേതിനുദാഹരണമാണ്. I (n) ഒരു ലീനിയര്‍ ഫലനമാണ്. μ(n), d(n),σ(n), ø(n), എന്നീ ഫലനങ്ങള്‍ ഗുണനാത്മകമാണ്. n-നു പകരം ഒരു അവിഭാജ്യസംഖ്യയുടെ ഘാതം (p^a) ഉപയോഗിച്ച് ഫലനത്തിന്റെ മൂല്യവാക്യം നിര്‍ണയിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്. ഇങ്ങനെ മൂല്യവാക്യങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിച്ചാല്‍ n = πp^a ആണെങ്കില്‍,

d(n) = π(a+1),φ(n) = nπ

σ(n) = πആയിരിക്കും

ഉദാ: n = 12 = 2² x 3¹; d(12) = (2+1) (1+1) = 6

σ(12)= 12

σ(12) = 

ഈ സംഖ്യാഫലനങ്ങള്‍ക്കു വളരെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. ഉദാ. I_k(n),ø_k(n),d_k(n),σ_k(n). അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ വൈശ്ളേഷികവശത്തെപ്പറ്റി പ്രതിപാദിക്കുന്നത് അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറിയിലാണ്. അനാലിസിസ് എന്ന മൗലികഗണിതശാഖയിലെ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പഠനം സാധിക്കുന്നത്.

ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്വാധീനം അങ്കഗണിതഫലനവിജ്ഞാനത്തെ വളര്‍ത്തിയിട്ടുണ്ട്. വളരെക്കാലത്തെ വളര്‍ച്ചയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ എല്‍.ഇ. ഡിക്സണ്‍ ഇതിന്റെ ചരിത്രം എഴുതി. അടുത്തകാലത്താണ് ഇ.ടി.ബെല്‍ ഈ ശാഖയെ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി വളര്‍ത്തിയത് (1927). സംഖ്യാഫലനസിദ്ധാന്തത്തില്‍, ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ പ്രേരണയോടെ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന് ഒരു താത്വികാടിസ്ഥാനം ഉണ്ടായി. സംഖ്യാഫലനഗണിതം എന്നൊരു ശാഖതന്നെ വളര്‍ത്തിയത് ബെല്‍ ആണ്. പിന്നീട് ആര്‍. വൈദ്യനാഥസ്വാമി, കാര്‍ലിറ്റ്സ്, എക്ഫോര്‍ഡ് കോഹന്‍, ലെഹ്മര്‍ എന്നിവര്‍ അത് കുറെക്കൂടി താത്ത്വികമായി വികസിപ്പിച്ചു.

സംഖ്യാഫലനങ്ങള്‍ക്കു കൂടുതല്‍ വ്യാപകമായ സാമാന്യവത്കരണങ്ങള്‍ സാധിച്ചിട്ടുണ്ട്. ജി.സി. റോട്ട എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് ഈ വഴിക്കു മൗലികപ്രാധാന്യമുള്ള ഗവേഷണങ്ങള്‍ ആരംഭിച്ചത്. ഇന്‍സിഡന്‍സ് ആള്‍ജിബ്ര (Incidence Algebra) എന്നൊരു ശാഖ വളര്‍ത്തി. മിശ്രസംഖ്യ (complex numbers)കളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഭാഗികമായി ക്രമപ്പെടുത്തിയ ജാലികാന്തരാളങ്ങള്‍ (Lattice inrervals) ഉപയോഗിച്ചുകൊണ്ട് സംഖ്യാഫലനങ്ങളുടെ അര്‍ഥവ്യാപ്തി വര്‍ധിപ്പിച്ചത് റോട്ടയാണ്. മോബയസ്മ്യൂ-(μ) ഫലനത്തിന്റെ സാമാന്യവത്കരണത്തിലാണ് റോട്ട കൂടുതല്‍ ശ്രദ്ധിച്ചത്. എന്നാല്‍ ഡേവിഡ് എ. സ്മിത്ത് ഇന്‍സിഡന്‍സ് ഫലനങ്ങളെന്ന പേരില്‍ അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വിപുലമായ സാമാന്യവത്കരണം സാധിച്ചു (1967). ക്ളാസിക്കല്‍ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്ന അനവധി സര്‍വസമീകരണങ്ങ(Identities)ളുടെ ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുന്ന രീതിയിലാണ് ഇന്‍സിഡന്‍സ് ഫലനങ്ങളുപയോഗിച്ച് സമാന്തരമായ സര്‍വസമീകരണങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തിയത്. ഈ ഗവേഷണം കോമ്പിനറ്റോറിയല്‍ അനാലിസിസ് എന്ന ശാഖയിലുള്‍പ്പെടുന്നു. അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോഴുള്ള ക്ളിഷ്ടത ഒഴിവാക്കുകയും കൂടുതല്‍ സാമാന്യമായ ഫലനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്നതരത്തിലാണ് ഇന്‍സിഡന്‍സ് ഗവേഷണം എത്തിയിരിക്കുന്നത്. നോ: അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി; ആള്‍ജിബ്ര; മോഡേണ്‍ ആള്‍ജിബ്ര; സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം; ലാറ്റിസ്തിയറി

അനന്ത ഗുണിതങ്ങള്‍

ഗണിതത്തില്‍ ഘടകങ്ങള്‍ അവസാനമില്ലാതെ തുടര്‍ച്ചയായി ചേര്‍ത്ത് ഗുണിച്ചുണ്ടാകുന്ന ഫലം. ?എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് അനന്തഗുണിതത്തെ സംക്ഷിപ്തരൂപത്തില്‍ എഴുതാം. ഉദാ.2/1.3/2.4/3........... എന്ന അനന്തഗുണിതം തന്നെയാണ്:

എന്നത് മുന്‍ ഉദാഹരണത്തിലെ ആംശികഗുണിതം (partial product) എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. (ഒരു അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ) ആംശിക ഗുണിതത്തിലുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമ്പോള്‍, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായ ഒരു പരിമിത സംഖ്യയോട് അടുത്തുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍, ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണം (convergent) എന്നും; ആ ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം വര്‍ധിക്കുന്നതോടൊത്ത്, അനന്തതയെയോ പൂജ്യത്തെയോ സമീപിച്ചു കൊണ്ടിരിക്കുകയാണെങ്കില്‍,ആ അനന്തഗുണിതത്തെ അപകേന്ദ്രസരണം (divergent) എന്നും പറയുന്നു. അനന്തഗുണിതത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു ഘടകത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യമാണെങ്കില്‍ ആ അനന്തഗുണിതത്തിന്റെ തന്നെ മൂല്യം പൂജ്യമാണ്. ഒരു ആംശികഗുണിതത്തിന്റെ മൂല്യം പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ഘടകങ്ങള്‍ക്കൊന്നിനും പൂജ്യം മൂല്യമായിരിക്കുകയില്ലെന്ന് ഓര്‍ക്കേണ്ടതുണ്ട്. പ്രതിപാദന സൌകര്യത്തെ ഉദ്ദേശിച്ച് അനന്തഗുണിതങ്ങളെ

എന്ന തരത്തിലാണ് എഴുതിപ്പോരുന്നത്. അപ്പോള്‍ P_n എന്ന ആംശികഗുണിതം

എന്നാകും. ഘടകങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യത്തില്‍നിന്നു ഭിന്നമായിരിക്കുന്ന

എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമാകാമെങ്കില്‍ അവശ്യം വേണ്ടതും (necessary) മതിയായതുമായ (sufficient) ഒരു വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: എന്ന ധനരാശി എത്ര ചെറുതായിരുന്നാലും, n≥N₀ ആണെങ്കില്‍, m = 1, 2, 3... എന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ക്കെല്ലാം

എന്ന അസമത (inequality) ഒത്തുവരത്തക്കവണ്ണം N₀ എന്നൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യ കണ്ടെത്തുവാന്‍ കഴിയണം. ഈ പ്രസ്താവനയിലെ m-ന് 1 എന്ന മൂല്യം കല്പിക്കുന്നതായാല്‍

എന്ന അഭികേന്ദ്രസരണ-അനന്തഗുണിതത്തില്‍ a_n+1 പൂജ്യത്തെ സമീപിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുമെന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഈ നിബന്ധന അഭികേന്ദ്രസരണത്തിനു വേണ്ടതാണ്; പക്ഷേ മതിയാകുന്നതല്ല.അനന്തഗുണിതങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചുള്ള ചില പ്രമേയങ്ങള്‍ (theorems) ചുവടെ ചേര്‍ക്കുന്നു. ഇവിടെ എല്ലാ മൃ-ഉം വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ (real numbers) ആണെന്നു സങ്കല്പിച്ചിരിക്കുകയാണ്.

പ്രമേയം-1. എല്ലാ ar-ഉം ധനാത്മകമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍ a₁ + a₂ + a₃ + ...എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ.

പ്രമേയം-2.

എന്ന അനന്തഗുണിതം അല്ലെങ്കില്‍

എന്ന അനന്തശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, തീര്‍ച്ചയായും

എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും. അഥവാ

എന്ന അനന്തശ്രേണി നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

എന്ന അനന്തഗുണിതം അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കുകയുള്ളു.

പ്രമേയം-3. എല്ലാ ar-ഉം 0≤ ar < 1 എന്ന നിബന്ധന പാലിക്കുന്നുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടെ. അപ്പോള്‍

അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍, എങ്കില്‍ മാത്രമേ

എന്ന അനന്തഗുണിതവും അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കൂ. നോ: അനാലിസിസ്; അഭികേന്ദ്രസരണം, അപകേന്ദ്രസരണം

അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി

Analytic number theory

പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ബഹുമുഖമായ സവിശേഷതകളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തം എന്നും ഇത് അറിയപ്പെടുന്നു. പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ യൂക്ളിഡും ഭാരതീയാചാര്യന്‍മാരായ ബ്രഹ്മഗുപ്തനും ഭാസ്കരാചാര്യനും സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം (Number theory) വികസിപ്പിച്ചവരാണ്. എന്നാല്‍ അടുത്ത കാലത്താണ് ഈ ശാഖയ്ക്ക് ഏറെ വളര്‍ച്ചയുണ്ടായിട്ടുള്ളത്. ലീഷാണ്‍, ഗോസ്, വോണ്‍ മങ്കോള്‍ട്, ബെര്‍ട്രന്റ്, ഷെബിഷെഫ്, മെര്‍ടണ്‍സ്, ലാന്റോ, മിങ്കൌസ്കീ, ഡിറീക്ലെ, റീമാന്‍, ഇങ്ഹാം, ഉസ്പെന്‍സ്കി, സീഗല്‍, ഹഡമാര്‍ഡ്, ഡെലാവാലി പൂസ്സിന്‍, ലിന്നിക്ക്, സെല്‍ബര്‍ഗ്, വിനഗ്രഡോഫ്, ഹാര്‍ഡി, രാമാനുജന്‍, എസ്.എസ്.പിള്ള എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍മാര്‍ വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തെ പരിപോഷിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്.

അനാലിസിസ്' (Analysis) അഥവാ വിശ്ളേഷണം എന്ന ഗണിതശാഖയുടെ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച്, പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന അനന്തശ്രേണികളുടേയും അനന്തമായി തുടരുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളുടേയും (prime numbers) ഗുണധര്‍മ വിചിന്തനം സാധിക്കുന്നു. വിശ്ളേഷണത്തിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വമായ സീമ (limit) ഇതില്‍ സാര്‍വത്രികമായി പ്രയോഗിച്ചുവരുന്നു. സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രാഥമികമായ തത്ത്വങ്ങളും അതിലുപരി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൌലികമായ ഗുണധര്‍മങ്ങളും വിശ്ളേഷകസംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അവശ്യഘടകങ്ങളാണ്. ഈ തത്ത്വങ്ങളില്‍ പടുത്തുയര്‍ത്തിയിട്ടുള്ള ഈ ഗണിതശാഖ ഗവേഷണരംഗത്തെ സജീവപ്രശ്നമായി തുടരുന്നു. ആധുനിക ഗണിതശാഖകളായ ഗണസിദ്ധാന്തം (Set Theory), കേവല ബീജഗണിതം (Abstract Algebra), ടോപോളജി (Topology) എന്നിവയുടെ പ്രേരണകൊണ്ട് ബഹുമുഖമായ വളര്‍ച്ചയ്ക്കു വിധേയമായിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയാണ് അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി.

മൗലിക തത്ത്വങ്ങള്‍

പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ലളിതമായ സവിശേഷതകള്‍ ഏകദേശമായ സ്വയംസമ്പൂര്‍ണതയ്ക്കായി താഴെചേര്‍ക്കുന്നു.

1-ഉം അതേ സംഖ്യയുമൊഴികെ മറ്റൊരു ഘടകവുമില്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യയാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ (prime number); ഇത്തരത്തിലല്ലാത്തവ സങ്കീര്‍ണസംഖ്യയും (composite number). ഏതു പൂര്‍ണസംഖ്യയും അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ ഗുണിതമായി കണക്കാക്കാന്‍ കഴിയും. ഒരു പൂര്‍ണസംഖ്യയ്ക്ക് ഒന്നില്‍ കൂടുതല്‍ രൂപത്തില്‍ ഈ അഭാജ്യഘടകസംവിധാനം ഉണ്ടായിരിക്കയില്ല. പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ ഈ സവിശേഷതയ്ക്ക് ഐകഘടകീകരണതത്ത്വം (Unique Factorisation Theorem) എന്നു പറയുന്നു. ഇതനുസരിച്ചാണ് പൂര്‍ണസംഖ്യയെ n = pa qb ......rc അഥവാ IIpa എന്നിങ്ങനെ ഘടകരൂപത്തില്‍ എഴുതുന്നത്.

അനന്തത

Infinity

ഒരു പൂര്‍ണസംഖ്യയെ തുടര്‍ന്നു വരുന്ന മറ്റൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യയുണ്ട്. ഈ ദര്‍ശനം തുടര്‍ന്നു പോയാല്‍ സ്വാഭാവികമായി തോന്നുന്ന ഒരു ആശയമാണ് അനന്തത. പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍ അനന്തമായി അനുസ്യൂതം തുടരുന്നുവെന്നൂഹിക്കാം. എന്നാല്‍ അഭാജ്യസംഖ്യകളും ഇതുപോലെ അനന്തമായി തുടരുന്നുണ്ടോയെന്ന് അല്പം ചിന്തിക്കേണ്ടിവരും. അഭാജ്യസംഖ്യകളും അപ്രകാരം തന്നെ തുടരുന്നുണ്ട്. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 എന്നു തുടങ്ങിയ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം അനന്തമാണ്. യൂക്ളിഡ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രാചാര്യന്‍ ഈ വസ്തുത തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം ഒന്നും വിടാതെ p എന്ന അഭാജ്യസംഖ്യവരെ, തമ്മില്‍ ഗുണിച്ചാല്‍, ഈ ഗുണിതത്തെ p വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുന്നു. എന്നാല്‍ ഈ ഗുണിതത്തിനോട് 1 ചേര്‍ത്തുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ p വരെയുള്ള ഏതൊരു അഭാജ്യസംഖ്യകൊണ്ടും ഹരിക്കാന്‍ കഴിയില്ലെന്നതിനാല്‍ത്തന്നെ ആ സംഖ്യ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണന്നോ, അല്ലാത്തപക്ഷം അതിന് p യേക്കാള്‍ വലിയ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യാഘടകം ഉണ്ടന്നോ മനസ്സിലാക്കാം. ഈ വാദം തുടരുന്നതായാല്‍ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്കപ്പുറത്ത് മറ്റൊന്നുണ്ടെന്നും അങ്ങനെ ആ അനുക്രമം അനന്തമായി തുടരുന്നുവെന്നും സിദ്ധിക്കുന്നു.

അനന്തതയുമായുള്ള ഈ ബന്ധം യഥാര്‍ഥമായ ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കു വഴിതെളിച്ചു. ഏതെങ്കിലുമൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യക്ക് താഴെ ആ സംഖ്യയോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യതയുള്ള (relative prime), അതായത് ആ സംഖ്യയുമായി 1 ഒഴികെ പൊതുഘടകമില്ലാത്ത, സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, ഒരു സംഖ്യയുടെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം, അവയുടെ ആകെത്തുക എന്നീ പ്രശ്നങ്ങള്‍ അങ്കഗണിതഫലനംവഴി മനസ്സിലാക്കി. (n), d(n), (n) എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ ഈ ഫലനങ്ങളാണ്.

= വിഗണസംഖ്യകള്‍ -ഗണസംഖ്യകള്‍-ഏകദേശനം

Irrationals -Rationals-Approximation

√2 ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ്. √2 വിന് 1.414 എന്നൊരു മൂല്യം ആരോപിക്കുന്നതായി കാണാം. ഇതില്‍ അടങ്ങിയിട്ടുള്ള തത്ത്വമാണ് ഏകദേശനം എന്ന ആശയത്തിലുള്ളത്. ഏതൊരു വിഗണസംഖ്യയ്ക്കും ഒരു ഗണസംഖ്യയെ ഏകദേശ മൂല്യമായി അംഗീകരിക്കാമെന്നു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ പ്രമേയങ്ങള്‍ ഇതിനുപോദ്ബലകമായി എടുക്കാം.

a ഒരു വിഗണസംഖ്യയും, N ധനാത്മക പൂര്‍ണസംഖ്യയും ആണെങ്കില്‍ താഴെപറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലേതെങ്കിലും ഒന്നനുസരിച്ച്, a-യോട് അടുപ്പമുള്ള h/k എന്ന ഒരു ഗണസംഖ്യയുണ്ടായിരിക്കും. ഇവിടെ (k<= N)

ഇതിലെ രണ്ടാമത്തെ വ്യവസ്ഥ വാസ്തവത്തില്‍ ആദ്യത്തേതിനേക്കാള്‍ കണിശമാണ്; രണ്ടാമത്തേതില്‍ ഒന്നാമത്തേതും ഉള്‍പ്പെടുന്നു. ഇത്തരം മെച്ചപ്പെടുത്തലുകളാണ് ഇമ്മാതിരി പ്രക്രിയയിലുള്ള ഗവേഷണത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.

അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങളും ജാലിക ബിന്ദുക്കളും

Arithmetical Functions and Lattice Points

അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ മൂല്യത്തില്‍ ആധാരസംഖ്യയുടെ വലുപ്പച്ചെറുപ്പമനുസരിച്ചുണ്ടാകുന്ന മാറ്റങ്ങളെപ്പറ്റിയുള്ള പഠനം ഈ ശാഖയിലെ പ്രധാന വശമാണ്. n-നേക്കാള്‍ കുറഞ്ഞതും n-നോട് ആപേക്ഷിക അഭാജ്യവുമായ പൂര്‍ണ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം, അതായത് ø (n), n-നേക്കാള്‍ കുറവായിരിക്കുമെന്നത് വളരെ എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം: ø(n) < n ഈ അസമതാവാക്യത്തെ മെച്ചപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അതുപോലെ d(n) എന്ന ഘടകഫലന (divisor function) ത്തിന്റെ മൂല്യം, n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയായിരിക്കുമ്പോള്‍, 2 ആണ്; അതായത് d(n)-ന്റെ അല്പതമ സീമ 2. σ(n), μ(n),&gama; (n) എന്നീ അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളും ഇവയുടെ സാമാന്യവത്കരണങ്ങളും പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്. അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറിയിലെ ഏറ്റവും മൌലികമായ പ്രശ്നം അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി (Prime Number Theorem) എന്നതാണ്. ഓയിലര്‍, സീഗല്‍, ഷെബിഷെഫ്, ലാന്റോ, സെല്‍ബര്‍ഗ്, വിനഗ്രഡോഫ് എന്നിവരെല്ലാം ഈ പ്രമേയത്തിനു ഭേദഗതികള്‍ നല്കിയിട്ടുണ്ട്. അഭാജ്യസംഖ്യാ ശ്രേണി അനന്തമായി തുടരുന്നു. അതിനാല്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു ക്ളിപ്തസംഖ്യയ്ക്കു താഴെ എത്ര അഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ടായിരിക്കുമെന്നു മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാവശ്യമായി വരുന്നു. ഇതിനൊരു ഫോര്‍മുല തീര്‍ക്കാന്‍ കഴിയാത്തതിനാല്‍ ഏകദേശനിലയില്‍ തിട്ടപ്പടുത്താന്‍ ശ്രമം നടന്നു. ഇതിന്റെ ഫലമായിട്ടാണ് ഈ പ്രസിദ്ധമായ പ്രമിതി രൂപപ്പെട്ടത്. f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനം ആണെങ്കില്‍ താഴെയുള്ള

F(N)=Σ^N_n=1f(n)

എന്ന ആകെത്തുകയ്ക്ക് ആകലനഫലനം (summatory function) എന്നു പറയാം. അങ്കഗണിതഫലനത്തിന്റെ ഗതിവിഗതികള്‍ പഠിക്കാന്‍ ആകലനഫലനവും അതിന്റെ ശരാശരി ഫലനവും (average function) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ചില അങ്കഗണിത ഫലനങ്ങള്‍ക്കു ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനങ്ങളുണ്ട്. എളുപ്പത്തില്‍ ഗ്രഹിക്കാവുന്ന ജ്യാമിതീയ മാര്‍ഗങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച്, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തത്തിലെ വിശ്ളേഷണ പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കു പരിഹാരം കാണാന്‍ കഴിയും. n-മാന യുക്ളീഡിയ പ്രതലത്തിലെ (n-Dimensional Euclidean Space) പൂര്‍ണ സംഖ്യാനിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളുള്ള (Integer co-ordinates) ബിന്ദുവാണ് ജാലികബിന്ദു. ഒരു പ്രത്യേക തലത്തിലെ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തി അങ്കഗണിതഫലനങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികള്‍ തിട്ടപ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും.

വിഭജന പ്രശ്നം

Partition Problem

n എന്ന ധനപരമായ ഒരു പൂര്‍ണസംഖ്യയെ ധനപരമായ മറ്റു പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ തുകയായി എത്രവിധത്തില്‍ എഴുതാമെന്നൊരു പ്രശ്നമുണ്ട്. വിഭജനപ്രശ്നം എന്നാണിതിനു പേര്. p(n) എന്നാണ് ഈ ഫലനത്തെ സൂചിപ്പിച്ചുപോരുന്നത്. ഉദാ.

5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1

= 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1

അങ്ങനെ 5 എന്ന സംഖ്യയെ ഏഴു തരത്തില്‍ സംഖ്യകളുടെ തുകകളായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. അതായത് p(5) = 7. p(n)-ന്റെ മൂല്യം കണിശമായി കണ്ടുപിടിക്കുവാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല :

രാമാനുജനും ഹാര്‍ഡിയും കൂടി കണ്ടെത്തിയ ഒരു വ്യഞ്ജകം ആണിത് (1917).

വെയറിങ് പ്രശ്നം

Waring Problem

നിസര്‍ഗസംഖ്യകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്ന രൂപങ്ങളെ (forms) കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നത്. അതായത്, ഏത് ഒറ്റ സംഖ്യയും രണ്ടു നിസര്‍ഗ സംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗവ്യത്യാസത്തിനു തുല്യമായിരിക്കും: 7 = 4²-3²; 2n+1 = (n+1)²-n². ഇതില്‍ 7-നെ 4²-3² എന്ന രൂപത്തില്‍ പ്രകടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാവ് എ.ഡി. മൂന്നാം ശ.-ത്തില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഡയോഫാന്റസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ്.

1 + 2 + 3 + ....... + n = n (n+1) / 2

എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗത്തുനിന്ന് n എന്നതിന് 1, 2, 3, 4, .... എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചുകിട്ടുന്ന സംഖ്യകള്‍ ക്രമത്തില്‍ 1, 3, 6, 10, ... എന്നിവയാണ്. ഈ സംഖ്യകളെ ത്രിഭുജസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു. ഇതുപോലെ ബഹുഭുജസംഖ്യകളെ n + 1/2(x-2)(n²-n) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം. ഇതില്‍ n = 0, 1, 2,... എന്നെടുത്താല്‍ വിവിധതരം ബഹുഭുജസംഖ്യകള്‍ കിട്ടുന്നു; x ന്റെ മൂല്യം 4 ആണെങ്കില്‍ വര്‍ഗസംഖ്യകളായിരിക്കും കിട്ടുക. ഏതു വര്‍ഗസംഖ്യയും ത്രിഭുജസംഖ്യയോ അല്ലെങ്കില്‍ രണ്ടോ മൂന്നോ അത്തരം സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയോ ആയിരിക്കുമെന്ന് ഫെര്‍മെ (1636) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ പ്രസ്താവിക്കുകയുണ്ടായി. അതില്‍ കവിഞ്ഞ്, ഏതു നിസര്‍ഗസംഖ്യയും x രാശിയിലുള്ള x ബഹുഭുജസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും എന്നുകൂടി ഫെര്‍മെയുടെ പ്രമേയം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഏതു നിസര്‍ഗസംഖ്യയും 4 വര്‍ഗസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കുമെന്ന് ലഗ്രാഞ്ചെ (1772) തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി; ത്രിഭുജസംഖ്യകള്‍ക്കു ലീഷാണും (1798) മറ്റുള്ളവയ്ക്കു കോഷിയും (1813-15). ഏതു നിസര്‍ഗസംഖ്യയും കവിഞ്ഞത് 9 ഘനമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായിരിക്കും; അഥവാ കവിഞ്ഞത് 19 ചതുര്‍മാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക; കവിഞ്ഞത്, 37 പഞ്ചമാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. 1770-ല്‍ ഇ.വെയറിങ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടതാണിത്. ചുരുങ്ങിയത് എത്ര പദങ്ങള്‍ (terms) ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലുമുണ്ടായിരിക്കുമെന്ന പ്രശ്നം അവശേഷിച്ചു. ജി.എച്ച്. ഹാര്‍ഡി, ലിറ്റില്‍വൂഡ്, രാമാനുജന്‍ എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ് വെയറിങ് പ്രശ്നം പിന്നീട് (1917) ഗഹനമായി പഠിച്ചത്. ഓരോ പ്രതിനിധാനത്തിലും ഉണ്ടാകാവുന്ന k-രാശിയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം ചുരുങ്ങിയത് g(k) ആണെങ്കില്‍, g(k)-യെ വെയറിങ് സ്ഥിരാങ്കമെന്നു പറയുന്നു. g(6)-ന്റെ മൂല്യം 184-ല്‍ താഴെയും g(7)-ന്റേത് 323-ല്‍ താഴെയും g(8)-ന്റേത് 596-ല്‍ താഴെയും ആയിരിക്കുമെന്ന് 1934-ല്‍ ആര്‍.ഡി. ജെയിംസ് തെളിയിച്ചു. ഐ.എം. വിനഗ്രഡോഫ് ചില ഗവേഷണഫലങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതിനെത്തുടര്‍ന്ന് യു.എസ്സിലെ എല്‍.ഇ. ഡിക്സണും ഇന്ത്യയിലെ എസ്.എസ്. പിള്ളയും കുറെ പരീക്ഷണങ്ങള്‍ നടത്തി. 1936-ല്‍ അവര്‍ സ്വതന്ത്രമായി ഈ പ്രശ്നം മിക്കവാറും പരിഹരിച്ചു. q=(3/2)^kഎന്നിരിക്കട്ടെ. അവര്‍ തെളിയിച്ചത് ഇതാണ്:

g^(k)=2^k + q-2; k≥7

(3/2)^k - q ≤ 1 -(1/2)^k (q+3)

400-ല്‍ താഴെയാണ് k-യുടെ മൂല്യമെങ്കില്‍ ഇത് ശരിയായിരിക്കും. മറ്റുള്ള മൂല്യങ്ങളെ സംബന്ധിച്ച വ്യവസ്ഥയാണ് താഴെ കാണുന്നത്:

(3/2)^k - q =1-(1/2)^k (q+2)

1944-ല്‍ ഐ. നിവന്‍ ഈ വ്യവസ്ഥയിലും പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു. 1940-ല്‍ എസ്.എസ്.പിള്ള തന്നെ g(6) = 73 എന്നു തെളിയിച്ചു. 1944 ആയപ്പോഴേക്കും k = 4, 5 എന്നീ വ്യവസ്ഥകളൊഴികെ മറ്റെല്ലാം വെയറിങ് പ്രശ്നത്തില്‍ പരിഹൃതങ്ങളായി.

ജാലികബിന്ദു ഫലനം

Lattice Point Function

ഒരു പൂര്‍ണസംഖ്യ(n)യെ രണ്ടു പൂര്‍ണസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി ഏതേതുവിധത്തിലെല്ലാം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാന്‍ കഴിയുമെന്നതിന്റെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ ഫലനം. γ(n) എന്നാണിതിന്റെ ചിഹ്നം. അതായത്, x²+y² = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂര്‍ണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിര്‍ധാരണം ചെയ്യാവുന്നതിന്റെ എണ്ണം γ(n). ഉദാ. 1 = (+_-1)² + 0² =0² + (+-1)². അതുകൊണ്ട് γ(1) = 4. γ(n) ഗുണനാത്മകഫലനം (multiplicative function) അല്ല. നോ: അങ്കഗണിതഫലനം

ചില സംഖ്യകളെ (n), n = x² + y² എന്ന രൂപത്തില്‍ n, x, y പൂര്‍ണസംഖ്യകളാകുന്നവിധം പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാന്‍ കഴികയില്ല. അതുകൊണ്ട് γ(n) ചുരുങ്ങിയത് പൂജ്യം ആകാം. അതായത്

k n-നെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ. γ(n)-ന്റെ ഈ അളവുമാനത്തെക്കാള്‍ (order of magnitude) പഠനവിധേയത്വമുള്ളത് R(N)എന്നൊരു ഫലനമാണ്. x² + y² = N എന്ന വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയിന്‍മേലും അകത്തും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് R(N) സൂചിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകള്‍ വഴി മനസ്സിലാക്കാം. ഏകദേശം ആ വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം ആയിരിക്കും R(N).

ഗോസ് തിയറം

Gauss Theorem

ചിത്രം (1)-ല്‍ ഏകക വിസ്തീര്‍ണം (unit area) ഉള്ള ചതുരങ്ങളുടെ ശീര്‍ഷങ്ങളാണ് വൃത്തത്തിന്റെ സമതലത്തിലുള്ള ജാലികബിന്ദുക്കള്‍. വൃത്തത്തിനകത്തും പരിധിയിന്‍മേലും ഉള്ള ജാലികബിന്ദുക്കള്‍ക്ക് അനുയോഗത്തിലുള്ള ചതുരങ്ങള്‍ കണക്കാക്കിയാല്‍ R(N) ഈ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെ വിസ്തീര്‍ണമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം. കണക്കാക്കേണ്ടതായ എല്ലാ ചതുരങ്ങളും വൃത്തത്തിനകത്തല്ല. ഏതായാലും x²+y² = (√N + √2)²എന്ന വൃത്തത്തിനകത്തായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട് R(N) < π(√N + √2)2. അതുപോലെതന്നെ ആ ചതുരങ്ങള്‍ (√N - √2) വ്യാസാര്‍ധമുള്ള വൃത്തത്തിനു പുറത്തായിരിക്കും. R(N)> π(√N - √2)² ,N≥2 അതുകൊണ്ട് π(N-2√2N + 2) < R(N)<π (N+2√2N + 2) അതുകൊണ്ട്,R(N)=πN + O(√N) .

ഘടക ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം

d(n)-ന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം 2 ആണ്. കൂടിയത് എത്രയുമാകാം. xy = n എന്ന സമവാക്യം x, y, n എന്നിവ പൂര്‍ണ സംഖ്യകളാകുന്നവിധം നിര്‍ധാരണം ചെയ്യാവുന്ന എണ്ണമാണ് d(n). ചിത്രം 2-ലെ, xy = n എന്ന ബഹിര്‍വളയത്തിന്‍മേലും, അതിനും OX-, OY- അക്ഷങ്ങള്‍ക്കുമിടയിലുള്ളതുമായ ജാലികബിന്ദുക്കളുടെ എണ്ണമാണ് d(n). d(n) = O(n^ε),ε > 0 എന്നു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്.

ഓയിലര്‍ ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം

ø(n)<n എന്നത് എളുപ്പം മനസ്സിലാക്കാം. ,ø(n) = n(1-1/p), n=p^m, 1/p =ε എന്നെടുത്താല്‍ (ø(n)> n (1 -ø) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. ഇതില്‍നിന്നു

ø(n)-ന്റെ അളവുമാനത്തിന്റെ മറ്റൊരു സീമയാണ്.

മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനം

മോബയസ് ഫലനത്തിന്റെ അളവുമാനമെടുക്കാന്‍ Σ^∞_n=1 μ(n)/n² എന്ന വാക്യമാണുപയോഗിക്കുന്നത്.

എന്നീ അനന്തശ്രേണികള്‍ രണ്ടും നിരപേക്ഷ-അഭികേന്ദ്രസരണം (absolutely convergent) ആണ്.

ഈ ഗുണിതത്തില്‍ ആദ്യത്തെപദം ഒന്നും മറ്റെല്ലാം പൂജ്യവുമായിരിക്കും.

എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയും. ഇതില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

എന്നാണ്.

റീമാന്‍ സീറ്റാഫലനം

(s)ഡിറീക്ലെ ശ്രേണികള്‍. s > 1 ആണെങ്കില്‍, താഴെ പറയുന്ന അനന്തശ്രേണികള്‍ അഭികേന്ദ്രസരണങ്ങളാണ്. അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറിയില്‍ ഈ ഫലനത്തിന് വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്.

ഇതിനു റീമാന്‍ സീറ്റാ ഫലനമെന്നു പറയുന്നു. സീറ്റാ ഫലനമുപയോഗിച്ച് അങ്കഗണിതഫലനങ്ങള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ശ്രേണികളുടെ പഠനം നടത്താവുന്നതാണ്. f(n) ഒരു അങ്കഗണിതഫലനമാണെങ്കില്‍,

ഒരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിയാണ്. അഭികേന്ദ്രസരണവ്യവസ്ഥകള്‍ക്ക് വിധേയമായി

എന്നിവ ഗുണിച്ചാല്‍ ഫലം

എന്നൊരു ഡിറീക്ലെ ശ്രേണിതന്നെയായിരിക്കും. ഇവിടെ h(n) എന്ന അങ്കഗണിതഫലനം,

എന്ന ഡിറീക്ലെ സംയോഗമാണ്. റീമാന്‍ സീറ്റാഫലനവുമായി ഇതിനെ ബന്ധപ്പെടുത്താന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.

ഈ ആശയങ്ങളെല്ലാം ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് സാമാന്യവത്കരിക്കാനും പുതിയ രൂപങ്ങളില്‍ പ്രകടിപ്പിക്കാനും കഴിയുന്നതാണ്.

അഭാജ്യ സംഖ്യാപ്രമിതി

Prime Number Theorem

x സാമാന്യമായ ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യയെ കുറിക്കുന്നു. x ഉള്‍പ്പെടെ x വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെയും എണ്ണം π(x). π(x)-ന്റെ 'ഏകദേശമൂല്യം' (approximate value) x / log_e x ആണെന്ന് ക്രിസ്ത്വബ്ദം 1800-നടുപ്പിച്ച് ലീഷാണ്‍ (ലജന്റര്‍: Legendre,1752-1833) എന്ന ഫ്രഞ്ചുഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ഗോസ് (Gauss,1777-1855) എന്ന ജര്‍മന്‍ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ കണ്ടെത്തി.

എന്ന അംശബന്ധത്തിന്റെ വില ഒന്നിനോടടുക്കുന്നു. ഇതാണ് അഭാജ്യസംഖ്യാപ്രമിതി. ഗണിതശാസ്ത്രമണ്ഡലത്തില്‍ മികച്ച ഒരു സ്ഥാനമാണ് ഈ തിയറത്തിനുള്ളത്. ജെ. ഹഡമാര്‍ഡ് (J.Hadamard, 1865-1963) എന്ന ഫ്രഞ്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ബല്‍ജിയക്കാരനായ ഡെ ല വാലി പൂസ്സിന്‍ (De la Vallee Poussin, 1866-1962) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും അന്യോന്യമറിയാതെ അഭാജ്യസംഖ്യാ പ്രമിതിക്ക് 1896-ല്‍ ഉപപത്തി (proof) കണ്ടുപിടിച്ചു. പിന്നീടു പല ഉപപത്തികളും ആവിഷ്കൃതങ്ങളായിട്ടുണ്ടെങ്കിലും 1949-ല്‍ എര്‍ഡോ, സെല്‍ബര്‍ഗ് (Erdoo and Selberg) എന്നിവര്‍ ചേര്‍ന്ന് പ്രൊസീഡിങ്സ് ഒഫ് നാഷണല്‍ അക്കാദമി ഒഫ് സയന്‍സസ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും അതേകൊല്ലം സെല്‍ബര്‍ഗ് തനിച്ച് ആനല്‍സ് ഒഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിലും ഇതിനു സരളമായ ഉപപത്തികള്‍ പ്രസിദ്ധം ചെയ്തു. നോ: അനാലിസിസ്, അങ്കഗണിതഫലനം, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം

അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷന്‍

Analytic function

ഗണിതശാസ്ത്രശാഖയായ സമ്മിശ്രവിശ്ളേഷണ(complex analysis)ത്തിലെ ഗണിതപ്രാധാന്യമുള്ള ഫലനം. വിശ്ളേഷകഫലനം, ഹോളൊമോര്‍ഫികഫലനം (Holomorphic function), നിയമിതഫലനം (Regular function) എന്നീ പേരുകളിലും ഇതറിയപ്പെടുന്നു.

ചരിത്രം. വിശ്ളേഷണഫലന സിദ്ധാന്ത(അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷന്‍)ത്തിന്റെ ആദ്യകാല ഗവേഷകര്‍ കോഷി, റീമാന്‍, വെയര്‍സ്റ്റ്രോസ് എന്നിവരാണ്. വ്യുത്പന്നം (derivative) അഥവാ അവകലജഗുണാങ്കം (differential coefficient) ഉള്ള ഫലനങ്ങളാണ് കോഷിസിദ്ധാന്തത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. സമ്മിശ്രസമാകല(complex integration)ത്തിന്റെ ഉപാധിയിലൂടെയാണ് 1814-ല്‍ കോഷി ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു രൂപംകൊടുത്തത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗൂര്‍ഷ (Goursat) 1900-ത്തില്‍ അതിനെ നവീകരിച്ചു. അനലിറ്റിക് ഫങ്ഷന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രാധാന്യമാണ് റീമാന്‍ പഠന വിധേയമാക്കിയത്. ഘാതശ്രേണി (power series) ആണ് വെയര്‍സ്റ്റ്രോസ്തത്ത്വത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം. വിശ്ളേഷക-അവിച്ഛിന്നത(analytic continuum)യുടെ താത്ത്വിക വശങ്ങളിലാണ് വെയര്‍സ്റ്റ്രോസ് ശ്രദ്ധിച്ചത്.

സമ്മിശ്രചരങ്ങളുടെ ഫലനം (function of complex variables). R, S എന്നീ രണ്ടു സമ്മിശ്ര സംഖ്യാഗണങ്ങള്‍ (sets of complex numbers) ആദ്യത്തേതിലെ ഓരോ അംഗ(z)ത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിലെ ഒരംഗത്തെ നിര്‍ദേശിക്കുന്ന നിയമം (f) ആണ്, ഇവിടെ 'ഫലനം' എന്നതുകൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നത്. ഫലനത്തിന്റെ ഡൊമെയിന്‍ (domain) R-ഉം റെയിഞ്ച് (range) S-ഉം ആണ്. ഡൊമെയിന്‍ ഒരു വിവൃത-ബന്ധിതം (open connected) ആയിരിക്കും. ഇത്തരം R-ഗണത്തെ റീജിയന്‍ (region) എന്നു പറയുന്നു. R-റീജിയനില്‍ f(z) നിര്‍വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; Z എന്ന സമ്മിശ്രചരം Z0-നോടു സമീപിക്കുമ്പോള്‍,

എന്ന അംശബന്ധം (ratio) ഒരു പരിമേയ സീമ(finite limit)യോടടുക്കുന്നു; എങ്കില്‍ R-ലെ Z₀ ബിന്ദുവില്‍ f(Z) അവകലനീയം (differentiable) ആണ് എന്നു പറയുന്നു. Z₀-ലേക്കു Z അടുക്കുന്ന രൂപരേഖ (contour) ഏതു തന്നെ ആയാലും f(Z) - f(Z₀)/Z-Z₀-ന്റെ സീമയ്ക്കു മാറ്റമുണ്ടാകാന്‍ പാടില്ല. ഈ സീമയെ f(Z)-ന്റെ Z0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ വ്യുത്പന്നം (derivative) f'(Z) എന്നു പറയുന്നു. R-ലുള്ള എല്ലാ ബിന്ദുക്കളിലും f'(Z)-നു അസ്തിത്വമുണ്ടെങ്കില്‍ f(Z) എന്ന ഫലനം R എന്ന പ്രദേശത്തു വിശ്ളേഷകമാണെന്നു പറയുന്നു. n ഒരു ധനാത്മകപൂര്‍ണസംഖ്യ ആണെങ്കില്‍ Zn പരിമിത (സമ്മിശ്ര) തലത്തില്‍ വിശ്ളേഷകമാണ്. അതുകൊണ്ട് എല്ലാ ബഹുപദങ്ങളും (polynominals) വിശ്ളേഷകഫലനങ്ങളാണ്.

f(Z) = u(x,y) + i v(x, y) സമ്മിശ്രതലത്തിലെ R-റീജിയനില്‍ വിശ്ളേഷകമാണെന്നു കരുതിയാല്‍ u(x,y), v(x, y) എന്നീ വാസ്തവികമൂല്യ ഫലനങ്ങള്‍ (real valued functions) താഴെ പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങള്‍ക്ക് അനുസൃതമായിരിക്കുമെന്നു കാണാം.

എന്നിവയെ കോഷി-റീമാന്‍ സമവാക്യങ്ങള്‍ (Cauchy-Riemann equations) എന്നു പറയുന്നു. ഇതില്‍ പെടുന്ന ആംശികവ്യുത്പന്നങ്ങള്‍ (partial derivatives), കോഷി-റീമാന്‍ സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അവിച്ഛിന്ന ഫലനങ്ങള്‍ (continuous functions) ആണെങ്കില്‍ R-പ്രദേശത്ത്

f(z) = u(x,y) + iv (x,y)

എന്ന ഫലനം വിശ്ളേഷകമായിരിക്കും.

ഘാതശ്രേണി (Power Series). Σ^∞ എന്ന ഘാതശ്രേണി, |z-a|യുടെ മൂല്യം pഎന്നൊരു വാസ്തവിക സംഖ്യയില്‍ കുറഞ്ഞിരിക്കുമ്പോള്‍, അഭികേന്ദ്രസരണവും (convergent) കൂടുതലായിരിക്കുമ്പോള്‍ അപകേന്ദ്രസരണവും (divergent) ആണെങ്കില്‍ p, ആ ശ്രേണിയുടെ അഭികേന്ദ്രസരണ വ്യാസാര്‍ധം (radius of convergence) ആകുന്നു. തുല്യമായിരിക്കുമ്പോള്‍ z-ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥം (locus) വൃത്തമാണ്. ഇതാണ് ശ്രേണിയുടെ അഭികേന്ദ്രസരണവൃത്തം (circle of convergence). ഈ വൃത്തത്തിന്‍മേലുള്ള ബിന്ദുക്കളില്‍, ശ്രേണി അഭികേന്ദ്രസരണമോ അപകേന്ദ്രസരണമോ ആകാം. p-യുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍

1/p =സീമ |an|^1/n

എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു (നോ: അങ്കനങ്ങള്‍, ഗണിത) ഈ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ ഘാതശ്രേണിയുടെ സങ്കലനഫലനം (sum function) f(z) ഒരു വിശ്ളേഷകഫലനമായിരിക്കും.

കോഷി സിദ്ധാന്തം (Cauchy Theory). വിശ്ളേഷകഫലനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളില്‍ പലതും തെളിയിക്കുന്നത്, സമ്മിശ്ര സമാകലം ഉപയോഗിച്ചാണ്. പരിമേയമായ (finite) നിഷ്കോണചാപങ്ങ(smooth arcs)ളുടെ അവിച്ഛിന്ന ശൃംഖലയ്ക്ക് രൂപരേഖ (contour) എന്നു പറയുന്നു.

x=ø;(t) ; y= ψ(t)

a≤t≤b എന്നിവ c എന്ന രൂപരേഖയെ നിര്‍വചിക്കുന്നു. ഇവിടെ ø(t), ψ(t) എന്നീ ഫലനങ്ങള്‍ എന്ന വാസ്തവിക പ്രാചല(real parameter)ത്തിന്റെ ഭാഗിക-അവിച്ഛിന്ന ഫലനമാണ് (piecewise continuous function). c എന്ന രൂപരേഖയില്‍ f(z) ഭാഗിക-അവിച്ഛിന്നഫലനമാണെന്നു കരുതുക. f(z)-ന്റെ, c-യിലെ രൂപരേഖാസമാകലം (contour integral) നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നതിങ്ങനെയാണ്:

കോഷി-ഗൂര്‍ഷാപ്രമേയമനുസരിച്ച്, c എന്ന സംവൃത രൂപരേഖയിലും അതിനകത്തും f(z)വിശ്ളേഷകമാണെങ്കില്‍

∫_c f(z)dz = 0 വിശ്ളേഷകഫലന സിദ്ധാന്തത്തിലെ പലനിഗമനങ്ങള്‍ക്കും അടിസ്ഥാനം ഈ പ്രമേയമാണ്. c എന്ന രൂപരേഖയില്‍ f(z)-ന്റെ രൂപരേഖാസമാകലമാണ്

വിശ്ളേഷകഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നങ്ങളും വിശ്ളേഷകമായിരിക്കും.

വിശ്ളേഷകഫലനത്തിന്റെ ഘാതശ്രേണീവികാസം (Power series development of an Analytic function). സമ്മിശ്രതലത്തില്‍ f(z) വിശ്ളേഷകമാകാതിരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിനെയാണ് വിചിത്രത (singularity) എന്നു പറയുന്നത്. a എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ 'സാമീപ്യ'ത്തില്‍ f(z)-നു വേറെ വിചിത്രതകളില്ലെങ്കില്‍ z = a-യെ f(z)-ന്റെ ഏകാന്തവിചിത്രത (isolated singularity) എന്നു പറയുന്നു.

|z-a|≤ r1, |z-a|≤r2 എന്നിവ രണ്ടു വൃത്തങ്ങളാണ്. കേന്ദ്രം x = a. r₁നും r₂നുമിടയ്ക്കുള്ള പ്രദേശം (c) വലയാകാരം (ring shaped) ആയിരിക്കും. c-യില്‍ f(z) വിശ്ളേഷകമാണെങ്കില്‍, f(z) = Σ^∞_{n=0</sup> an(z-a)ⁿ + &Sigma^∞n=1bn(z-a)^-n}

ഇവിടെ a_n, b_n എന്നിവ കണക്കാക്കാന്‍ കഴിയും. b₁, b₂ എന്നു തുടങ്ങിയവയെല്ലാം പൂജ്യം ആണെങ്കില്‍, z = a ഒരു അപനേയ വിചിത്രത (removable singularity) എന്നും, f(z)-ന്റെ ശ്രേണിയിലെ രണ്ടാംഭാഗം (മുഖ്യഭാഗം) ഒരു അനന്തശ്രേണിയാണെങ്കില്‍ z = a ഒരു അനിവാര്യവിചിത്രത (essential singularity) എന്നും മുഖ്യ ഭാഗത്തില്‍ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമേയം (finite) ആണെങ്കില്‍ x = a ഒരു ധ്രുവം (pole) എന്നും പറയുന്നു. z = a എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള f(z)-ന്റെ പരിശിഷ്ടം ആണ് b₁.

പരിശിഷ്ടപ്രമേയം (Residue Theorem).

∫_cf(z)d(z) = 0

ആകണമെങ്കില്‍ രൂപരേഖ (c)-യിലും അതിനകത്തും f(z) വിശ്ളേഷകമായിരിക്കണം. എന്നാല്‍ c-യിലും c-യുടെ അകത്തു പരിമേയ വിചിത്രതകളൊഴിച്ചുള്ള (finite singularities) ബിന്ദുക്കളിലും f(z) വിശ്ളേഷകമാണെങ്കില്‍,

ഇതില്‍ R_i രൂപരേഖയുടെ അകത്തുള്ള z = z_i എന്ന വിചിത്രതയിലെ പരിശിഷ്ടം കുറിക്കുന്നു. ഇതാണ് കോഷിയുടെ പരിശിഷ്ടപ്രമേയം. ഈ പ്രമേയം ചില നിശ്ചിതസമാകലങ്ങളുടെ മൂല്യം നിര്‍ണയിക്കാനുപയോഗിക്കാറുണ്ട്. കൂടാതെ എലിപ്റ്റികഫലനസിദ്ധാന്ത(elliptic function theory)ത്തില്‍ ഈ പ്രമേയത്തിനു വളരെ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. നോ: അനാലിസിസ്, അവകലനം സമാകലനം, ഗണസിദ്ധാന്തം, ഫലനം (ഗണിതം), സമ്മിശ്രവിശ്ളേഷണം

അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി

Analytical geometry

ബീജീയസമ്പ്രദായങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് ക്ഷേത്രഗണിതത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖ. വിശ്ളേഷകജ്യാമിതി (Analytic Geometry), നിര്‍ദേശാങ്കജ്യാമിതി (Co-ordinate Geometry), കാര്‍ത്തീയജ്യാമിതി (Cartesian Geometry) എന്നീ പേരുകളിലും ഇതറിയപ്പെടുന്നു.

സിറാക്കൂസിലെ ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെയും പെര്‍ഗയിലെ അപ്പോളോണിയസിന്റെയും കാലഘട്ടം മുതല്‍ ഈ ഗണിത ശാഖയെപ്പറ്റിയുള്ള ചില പരിജ്ഞാനശകലങ്ങള്‍ പ്രചരിച്ചിരുന്നു. ഈജിപ്തുകാര്‍ക്ക് ഇതേപ്പറ്റി സ്ഥൂലമായ ജ്ഞാനം ഉണ്ടായിരുന്നതായി കരുതപ്പെടുന്നു. എങ്കിലും ഈ ശാസ്ത്രശാഖയ്ക്കു വികാസം സിദ്ധിച്ചത് പിയേര്‍ ദെ ഫെര്‍മെ (1601-65), റെനെ ദെക്കാര്‍ത്ത് (1596-1650) എന്നീ ഫ്രഞ്ചു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍മാരുടെ കാലത്തായിരുന്നു. ഐസക് ന്യൂട്ടന്‍ (1642-1727), ലൈബ്നിറ്റ്സ് (1646-1716) എന്നിവരും മികച്ച സംഭാവനകള്‍ ഈ ശാഖയ്ക്കു നല്കിയിട്ടുണ്ട്.

അക്ഷങ്ങളും നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങളും

Axes and Co-ordinates

ഒരു സമതലത്തില്‍ ഛ എന്നൊരു സ്ഥിരബിന്ദുവില്‍കൂടി രണ്ടു ലംബരേഖകള്‍ വരയ്ക്കുക. ഈ രേഖകളെ ആധാരമാക്കി ആ സമതലത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും അടയാളപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ചിത്രം 1-ല്‍ o കേന്ദ്രവും XOY', YOY' എന്നീ പരസ്പരലംബങ്ങളായ രേഖകള്‍ നിര്‍ദേശാക്ഷങ്ങ(Co-ordinates axes)ളും ആണ്. 1, II, III, IV എന്ന് അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നാലു പ്രദേശങ്ങളായി സമതലത്തെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ ഓരോ ഖണ്ഡത്തിനും പാദഖണ്ഡം (quadrant) എന്നു പറയുന്നു. p ഒരു സാമാന്യബിന്ദു ആണെന്നു കരുതുക; PL, X-അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ലംബമാണെങ്കില്‍ OL, LP എന്നിവയുടെ നീളം X,Y, എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.X,Y എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ P-യുടെ X-നിര്‍ദേശാങ്കവും Y-നിര്‍ദേശാങ്കവുമാണ്. O-ല്‍ നിന്നു OX ദിശയില്‍ അളക്കുന്നതെല്ലാം ധനാത്മകവും, OX എന്ന ദിശയിലുള്ളത് ഋണാത്മകവുമായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. അതുപോലെ OY ധനാത്മകവും, OY' ഋണാത്മകവും. ഈ സങ്കല്പങ്ങളനുസരിച്ച് ചിത്രം(1) OL,LP, എന്നിവ ധനാത്മകമാണ്. ഒന്നാം പാദഖണ്ഡത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ രണ്ടും ധനാത്മകമാണ്; രണ്ടാം പാദത്തില്‍ X ഋണാത്മകവും Y ധനാത്മകവും; മൂന്നില്‍ രണ്ടും ഋണാത്മകം; നാലില്‍ X ധനാത്മകവും Y ഋണാത്മകവും. ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ x-നിര്‍ദേശാങ്കത്തെ 'ആബ്സിസ' എന്നും y-നിര്‍ദേശാങ്കത്തെ 'ഓര്‍ഡിനേറ്റ്' എന്നും പറയാറുണ്ട്. p എന്ന ബിന്ദുവിനെ (x, y) എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

 

തിര്യഗക്ഷങ്ങള്‍

Oblique axes

ലംബമല്ലാത്ത രണ്ടു നേര്‍വരകള്‍ അവയുടെ സമതലത്തിലെ ബിന്ദുക്കളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാനുള്ള അക്ഷങ്ങളായി ഉപയോഗിക്കാവുന്നതാണ് (ചിത്രം 2). ഇതില്‍ o കേന്ദ്രവും xox', yoy' അക്ഷരേഖകളുമാണ്; pഏതെങ്കിലുമൊരു സാമാന്യബിന്ദുവും. p-ല്‍ നിന്നു yoy'നു സമാന്തരമായി ഒരു രേഖ വരച്ചാല്‍ അത് xox' നെ L എന്ന ബിന്ദുവില്‍ ഛേദിക്കുന്നു എന്നിരിക്കട്ടെ. എങ്കില്‍ OL ആബ്സിസയും LP ഓര്‍ഡിനേറ്റുമാണ്.

XOX എന്ന X-അക്ഷരേഖയിലുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിന്റെയും Y-നിര്‍ദേശാങ്കം (y-കോടി അഥവാ ഓര്‍ഡിനേറ്റ്) പൂജ്യവും YOY'ലുള്ള ബിന്ദുവിന്റെ x-നിര്‍ദേശാങ്കം (x-കോടി അഥവാ ആബ്സിസ) പൂജ്യവുമാണ്. അതുകൊണ്ട് x-അക്ഷത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും (x,o) എന്നും y-അക്ഷത്തിലെ ഏതു ബിന്ദുവും (o,y) എന്നും സൂചിപ്പിക്കാം. ഈ രണ്ടു രേഖകളുടെയും സംഗമസ്ഥാനത്തെ പ്രഭവസ്ഥാനം (initial point) എന്നു വിളിച്ചുപോരുന്നു. ആ ബിന്ദുവിനെ (o,o) എന്ന നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാം.

ബിന്ദുപഥങ്ങള്‍

Locus

അനലിറ്റിക്കല്‍ ജ്യോമട്രി അനുസരിച്ച്, നിയതമായ ഏതു വക്രരേഖയും (ordered curve) ചില പ്രത്യേകനിയമപ്രകാരം നീങ്ങുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ സഞ്ചാരപഥമാണ്. നിര്‍ദിഷ്ടമായ നിയമങ്ങളനുസരിച്ച് തുടര്‍ന്നുവരുമ്പോള്‍ ഒരു പഥം സംജാതമാകുന്നു. ഇതാണ്, സഞ്ചാരപഥമെന്നതുകൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഇവിടെ ജ്യാമിതീയ നിയമങ്ങളെ ബീജീയ വാക്യങ്ങളായി മാറ്റുന്നു. x-അക്ഷത്തില്‍നിന്ന് ഇരുവശത്തേക്കും നീങ്ങാത്ത ബിന്ദുക്കളുടെ പഥം XOX' എന്ന നേര്‍വരതന്നെ. അതുകൊണ്ട് XOX'-ന്റെ സമവാക്യം y = 0. x-അക്ഷത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കള്‍ക്കും അനുയോജ്യമായ നിയമമാണിത്. അതുപോലെ yoy'-ന്റെ സമവാക്യം X = 0. ഒരു സ്ഥിരബിന്ദു(fixed point)വില്‍നിന്ന് എപ്പോഴും r ദൂരത്തില്‍ കിടക്കുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥം ആ സ്ഥിരബിന്ദു കേന്ദ്രമാക്കിക്കൊണ്ടും, r വ്യാസാര്‍ധമാക്കിക്കൊണ്ടുമുള്ള വൃത്ത പരിധിയാണ്. ബിന്ദുപഥത്തിനു കൂടുതല്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ തുടര്‍ന്നു കാണാവുന്നതാണ്.

 

 

 

നേര്‍വരകള്‍

നേര്‍വരയെ പൊതുവായി പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത് ഏകഘാത സമവാക്യ(first degree equation)ത്തിലൂടെയാണ്: ax + by + c = 0. ഒരു നേര്‍വര ഉറപ്പിക്കാന്‍ അത്യാവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകളെ ആധാരമാക്കിയാണ് അതിന്റെ സമവാക്യം രൂപപ്പെടുന്നത്. (1) രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഒരു നേര്‍വരയുണ്ടാകുന്നു. (II) ഒരു ബിന്ദുവും നേര്‍വര X-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന ചരിവുമാനവും (slope) അറിഞ്ഞാല്‍ ഒരു നേര്‍വരയുണ്ടാക്കാം. (III) ചരിവുമാനവും y-അക്ഷരേഖയിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡവും (intercept) അറിഞ്ഞാല്‍ ഒരു നേര്‍വരയുണ്ടാക്കാം. (iv) രേഖ x, y അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങള്‍ അറിഞ്ഞാല്‍ ഒരു രേഖ വരയ്ക്കാം. സാധാരണയായി ഇത്തരത്തിലുള്ള വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ചാണ് നേര്‍വരയുണ്ടാകുന്നത്.

(1) ചിത്രം 3-ല്‍ A,B ആ എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ (x₁, y₁), (x₂,y₂) ആണ്. ഇവ യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാവുന്ന നേര്‍വര(AB)യുടെ സമവാക്യം നിര്‍ണയിക്കാം. p(x,y) രേഖയിലുള്ള ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണെങ്കില്‍ AP,AB എന്നീ രേഖകള്‍ ഒരേ നേര്‍വരയിലായതിനാല്‍ ചരിവുമാനങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കും. അതായത് . AC/PC = AD/BD ഇതില്‍നിന്നു

y-y₁ / x- x₁ = y₁ - y ₂/x₁ - x₂ എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത്,

(ii) A(x₁,y₁) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടക്കുന്നതും mചരിവുമാനം ഉള്ളതുമായ നേര്‍വരയുടെ സമവാക്യം എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. (1)-ല്‍ ചരിവുമാനമാണ്. ചരിവുകോണ്‍ ø ആണെങ്കില്‍ tanø ആണ് ചരിവുമാനം.

(iii) ചരിവുമാനം m-ഉം രേഖ y-അക്ഷത്തില്‍ ഉണ്ടാക്കുന്ന ഖണ്ഡം കേന്ദ്രത്തില്‍നിന്ന് അളക്കുമ്പോള്‍ c-യുമാണെങ്കില്‍, രേഖ വരയ്ക്കാന്‍ കഴിയും. ചിത്രം 5 നോക്കിയാല്‍ p(x,y) രേഖയിലെ ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവും OQ = c ഛേദഖണ്ഡവും øചരിവുകോണുമാണെന്നും കാണാം. എങ്കില്‍ m = tanø = PN/QN; അതായത്

PN =m.QN. ഇതില്‍നിന്നു y =mx + c എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. PQ എന്ന രേഖയുടെ സമവാക്യമാണിത്.

(iv) ചിത്രം 6 പരിശോധിച്ചാല്‍ a, b എന്നിവ, അക്ഷങ്ങളിലുണ്ടാക്കുന്ന ഛേദഖണ്ഡങ്ങളും p(x,y) ഒരു സാമാന്യബിന്ദുവുമാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാം. ത്രികോണങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ സവിശേഷതയനുസരിച്ച് AM/AO = MP/OB ആണ്. ഇതില്‍നിന്നു a-x/a = y/b എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത് x/a + y/b = 1

(V) (ചിത്രം 7). കേന്ദ്രത്തില്‍നിന്നു AB എന്ന ഋജുരേഖയിലേക്കുള്ള ലംബത്തി(OM)ന്റെ നീളം p-ഉം OM x-അക്ഷവുമായുണ്ടാക്കുന്ന കോണം α-യുമാണ്. എങ്കില്‍ AB-യുടെ സമവാക്യം

x cosα + y sinα = p ആയിരിക്കും.

മേല്പറഞ്ഞ സമവാക്യരൂപങ്ങളില്‍നിന്നു മനസ്സിലാക്കാവുന്നത്, നേര്‍വരയുടെ സമവാക്യം ഏകഘാതസമവാക്യമായിരിക്കുമെന്നതാണ്. അതായത്, ax + by + c = 0 രണ്ടു നേര്‍വരകള്‍ക്കിടയിലുള്ള കോണം ø ആണെങ്കില്‍ താഴെ കാണുന്നവിധം കണക്കാക്കാന്‍ കഴിയും: (m1 > m2)

tan ø = m₁ - m₂ / 1+m₁ m₂

ഇവിടെ m₁,m₂ എന്നിവ, രേഖകളുടെ ചരിവുമാനമാണ്. രേഖകള്‍ സമാന്തരമാണെങ്കില്‍,m₁= m₂; ലംബമാണെങ്കില്‍

m₁m₂ = -1.

ദ്വിഘാത സമവാക്യങ്ങള്‍

Second degree equations in x,y

പൊതുവായ ദ്വിഘാതസമവാക്യമാണ് ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 ചില വ്യവസ്ഥകളനുസരിച്ച് ഈ വാക്യം ഒരു ജോടി നേര്‍രേഖകളെയോ ഒരു വൃത്തത്തെയോ മറ്റു കോണികഖണ്ഡങ്ങ(conic sections)ളെയോ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നതാണ്. രണ്ടു ഏകഘാതവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണിതമാണ് ഇതിലെ വാക്യമെങ്കില്‍ ആ വാക്യം രണ്ടു നേര്‍വരകളെ കുറിക്കുന്നു. ഈ വ്യവസ്ഥ നിര്‍ണയിക്കാന്‍ കഴിയും. abc + 2fgh- af ²- bg²- ch² = 0 എന്നതാണ് ഈ വ്യവസ്ഥ. x²,y² എന്നിവയുടെ ഗുണനാങ്കങ്ങള്‍ തുല്യമായിരിക്കയും, xyയുടെ ഗുണനാങ്കം പൂജ്യമായിരിക്കുകയുമാണെങ്കില്‍, അതായത് ax² + ay² + 2gx + 2fy + c = 0, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യമുണ്ടാകുന്നു.

x²+y²+2gx+2fy+c=0,

x²/a² + y² / b² = 1

y² = 4ax,x²/a² - y² /b² =1

എന്നീ പ്രത്യേക സമവാക്യ രൂപങ്ങള്‍ വൃത്തം, ദീര്‍ഘവൃത്തം (ellipse), പരവളയം (parabola), ബഹിര്‍വളയം (hyperbola) എന്നിവയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിര്‍ദിഷ്ടാങ്കrപദ്ധതിയിലെ കേന്ദ്രം വൃത്തകേന്ദ്രമായും r വ്യാസാര്‍ധമായും ഉള്ള വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ചിത്രം 8-ല്‍ നിന്നു കണക്കാക്കാം: x² + y² = r².

ദൂരം

Distance

A (x₁,y₁), B (x₂, y₂) എന്നീ രണ്ടു ബിന്ദുക്കള്‍ തമ്മിലുള്ള ദൂരം പിത്തഗറസ്തത്ത്വം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയും. ചിത്രം 9-ല്‍ ACB ഒരു മട്ടത്രികോണമാണ്. BC² + AC² = AB ². ഇതില്‍നിന്നു, AB=√(x₁ - x ₂)²+(y₁-y₂)² എന്നു നിര്‍ണയിക്കാം. ഇതില്‍ B കേന്ദ്രത്തില്‍ തന്നെയാണെങ്കില്‍ BA, അതായത് OA=√x₁²+y₁²എന്നു കാണാം. (x₁,y₁)ല്‍ നിന്നു ax + by + c = 0 എന്ന നേര്‍വരയിലേക്കു വരയ്ക്കുന്ന ലംബത്തിന്റെ നീളം,

x cos α+y sin α=p എന്ന സമവാക്യത്തോട് ax + by + c = 0 താരതമ്യപ്പെടുത്തിയാല്‍ കിട്ടുന്നതാണ്:

കേന്ദ്രത്തില്‍നിന്നുള്ള ദൂരം താഴെ കാണുന്നവിധം ആണ് എന്നു മനസ്സിലാക്കാം. (കേന്ദ്രം:x1 = 0, y1 = 0)

p=+- ax₁+by₁+c/√a² +b²

വിസ്തീര്‍ണം

Area

A (x₁,y₁), B (x₂, y₂), C (x₃,y₃) എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ ശീര്‍ഷ(vertices)ങ്ങളായുള്ള ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം കാണുന്നത്, ഈ ബിന്ദുക്കളില്‍ നിന്നും X-അക്ഷത്തിലേക്ക് ലംബം വരച്ച് ദ്വിവശസമാന്തര ചതുര്‍ഭുജങ്ങളുടെ (trapezium) വിസ്തീര്‍ണങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിച്ചാണ് (ചിത്രം 10); വിസ്തീര്‍ണത്തിനു Δഎന്ന ചിഹ്നമാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ ഈരണ്ടെണ്ണം നേര്‍വരകൊണ്ടു യോജിപ്പിച്ചുണ്ടാകുന്ന ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം പൂജ്യം ആണെങ്കില്‍ ആ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേര്‍വരയിലാണെന്ന് അതില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കാം.

ധ്രുവാങ്ക പദ്ധതി

Pollar Co-ordinate System

ഇതുവരെ പ്രതിപാദിച്ച കാര്‍ത്തീയ നിര്‍ദേശാങ്കപദ്ധതി പോലെ തന്നെ പ്രയോജനകരമായ മറ്റൊരു പദ്ധതിയാണിത്. ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും അതില്‍ നിന്നുള്ള ഒരു സ്ഥിര നേര്‍വരയും അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി പ്രതലത്തിലെ ബിന്ദുക്കള്‍ നിര്‍ണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്. ചിത്രം 11-ല്‍ o സ്ഥിരബിന്ദുവും ox സ്ഥിരരേഖയും ആണ്. p എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിന്റെ ധ്രുവാങ്കങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിക്കുന്നത് op എന്ന ത്രിജ്യരേഖ(radius vector)യുടെ നീളം r-ഉം OX-ല്‍ നിന്ന് സമതലത്തിലൂടെ O കേന്ദ്രമാക്കി അപ്രദക്ഷിണമായി (anticlock-wise) തിരിയുമ്പോള്‍ op ഉണ്ടാക്കുന്ന e എന്ന കോണവും ഉപയോഗിച്ചാണ്. ഇവിടെ r ,ø ഇവ ആണ് p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങള്‍. p എന്ന ബിന്ദുവിനെ (r,ø) എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.

സമ്മിശ്ര സംഖ്യകളെ (Complex numbers) വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയില്‍ അവതരിപ്പിക്കാന്‍ ധ്രുവാങ്കങ്ങള്‍ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നു. x + iy-യുടെ ആംപ്ളിറ്റ്യൂഡ് ø,r=+√x²+y² മോഡുലസ് എന്നിവ (r,ø) എന്ന ബിന്ദുവായി അങ്കനം ചെയ്യുന്നു. (r,ø) എന്നതു (r,ø+2nπ + 2nII ആയും എഴുതാം. നോ: സമ്മിശ്ര സംഖ്യ

അക്ഷ രൂപാന്തരണം

Transformation of axes

(i) കേന്ദ്രം o-യില്‍നിന്നു o'-യിലേക്കും ആധാരരേഖകള്‍ x, oy എന്നിവയ്ക്കു സമാന്തരമായി o'x, o'y (ലംബം) എന്നിവയിലേക്കും മാറ്റിയാല്‍, പുതിയ ആധാരരേഖകളെ അപേക്ഷിച്ച് നിര്‍ദിഷ്ടാങ്കങ്ങള്‍ നിര്‍ണയിക്കാം. p എന്ന ബിന്ദു x-,y- അക്ഷങ്ങളെ ആധാരമാക്കി (x,y) x -, y- എന്നിവയെ ആസ്പദമാക്കി (x,y) യും ആണെങ്കില്‍, ചിത്രം 12-ല്‍ നിന്ന്, x = X + h, y = Y + K എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത് X = x-h, Y =y-k. ഇവിടെx-, y- അക്ഷങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ചുള്ള കോടികളാണ് (h, k).

(ii) O കേന്ദ്രമാക്കി അക്ഷങ്ങളെ αകോണിലൂടെ തിരിച്ചും അക്ഷങ്ങളുടെ രൂപാന്തരണം സാധിക്കാം (ചിത്രം 13). p-യുടെ ധ്രുവാങ്കങ്ങള്‍ (r,ø) ആയിരുന്നെങ്കില്‍ ഇതനുസരിച്ച് (r,ø+α) ആയിത്തീരും. അങ്ങനെx =r cos ø,y=r sin ø എന്നിവയുപയോഗിച്ച് X= r cos(ø+α),Y=r sin (ø+α) എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. അതായത്, X = r cosøcos α -ysinα

Y = r sinøcos α + r cosø sin α =x sinα +y cos α

വിസ്തീര്‍ണ കോടികള്‍

Arieal Co-ordinates

ഒരു ത്രികോണത്തെ ആധാരമാക്കി കോടികള്‍ നിര്‍ണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായമാണിത്. p എന്ന സാമാന്യബിന്ദുവിന്റെ കോടികള്‍ ΔBPC,ΔCPA,ΔAPB എന്നീ വിസ്തീര്‍ണങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. അതായത് t1, t2, t3 ആണ് കോടികളെങ്കില്‍ t₁: t₂ :t₃ = ΔBPC :ΔCPA :ΔAPB ഇവയ്ക്ക് p-യുടെ ബേരികേന്ദ്രീയ കോടികളെന്നും (Bary-centric co-ordinates) പറയുന്നു. ഇവിടെ t₁ + t₂ + t₃ = 1 എന്നാകുന്ന വിധത്തിലാണെങ്കില്‍ ഇവയെ വിസ്തീര്‍ണ കോടികള്‍ എന്നു പറയാം.

കോണിക ഖണ്ഡങ്ങള്‍

Conic Sections

ഇരുഭാഗത്തേക്കും നീണ്ടുകിടക്കുന്ന (ചിത്രം 14) കോണിന്റെ (Cone) പ്രത്യേക ഖണ്ഡങ്ങളുടെ പഠനം വിശ്ളേഷകജ്യാമിതിയില്‍ സുപ്രധാനമാണ്. കോണിന്റെ അക്ഷത്തോടു ചേര്‍ത്ത് കോണിനെ ഒരു സമതലംകൊണ്ടു ഛേദിക്കുകയാണെങ്കില്‍ ബാഹ്യമായി കാണുന്ന പരിച്ഛേദം (cross section) രണ്ടു ഋജുരേഖകളായിരിക്കും. അക്ഷത്തിനു ലംബമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോള്‍ പരിച്ഛേദം വൃത്താകാരവും ചരിവു വശത്തിനു സമാന്തരമായിട്ടാണെങ്കില്‍ പരവളയവും സമാന്തരമല്ലാതെയാണെങ്കില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തവും രണ്ടു ഭാഗത്തെ അക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായി ഖണ്ഡിക്കുമ്പോള്‍ ബഹിര്‍വളയവും ഉണ്ടാകുന്നു.

കോണിക(conic)ത്തെ സാമാന്യമായി ഇങ്ങനെയാണ് നിര്‍വചിച്ചിരിക്കുന്നത്: s ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവും d ഒരു സ്ഥിര ഋജുരേഖയുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക; p കോണികത്തിലെ ഏതെങ്കിലുമൊരു സാമാന്യബിന്ദുവും; p-ല്‍ നിന്നു d-യിലേക്കുള്ള ദൂരം PM . എങ്കില്‍ SP/PM =e (e ഏതെങ്കിലുമൊരു സംഖ്യയാകാം). e ക്ളിപ്തമായിരിക്കുന്നവിധം p ചലിക്കുമ്പോഴുണ്ടാകുന്ന ബിന്ദുപദമാണ് കോണികം; e കോണികത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയും (eccentricity). eയുടെ മൂല്യം 1 ആകുമ്പോള്‍ കോണികം ഒരു പരവളയവും e യുടെ മൂല്യം 1-ല്‍ കുറവാകുമ്പോള്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തവും e യുടെ മൂല്യം 1-ല്‍ കൂടുതല്‍ ആകുമ്പോള്‍ ബഹിര്‍വളയവും ആയിരിക്കും (ചിത്രം 15).

വൃത്തം

Circle

x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 ആണ് ഒരു സാധാരണ വൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം. ഈ വൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രവും വ്യാസാര്‍ധവും കാണാന്‍ സമവാക്യത്തെ (x + g)² +(y + f)²= √g²+f²-c)² എന്നാക്കിയാല്‍ മതി. കേന്ദ്രം (-g,-f)-ഉം വ്യാസാര്‍ധം √g² +f²-cയുമാണ്. വൃത്തത്തിന്‍മേലുള്ള ഏതു ബിന്ദുവിനേയും പ്രാചല(parameter)ത്തിലൂടെ കാണിക്കാന്‍ കഴിയും. x² + y² = r² എന്ന വൃത്തത്തിന്‍മേലുള്ള ഏതു ബിന്ദു വും x = r cos ø, y= r sin ø എന്ന പ്രാചലപ്രതിനിധാനം വഴി സൂചിപ്പിക്കാം.

പരവളയം

Parabola

കോണികത്തിന്റെ പൊതു തത്ത്വമനുസരിച്ച്, ചിത്രം (16)-ല്‍ നിന്നു SP = PM. p(x,y) ഇവിടെ പരവളയത്തിന്‍മേലുള്ള സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ്. s-ല്‍ കൂടി d-ക്കു ലംബം വരച്ച് അത് x-അക്ഷമായി എടുക്കുകയും SZ (= 2a)-ന്റെ മധ്യബിന്ദു o കേന്ദ്രമായും o-ല്‍ കൂടി ox-നു വരയ്ക്കുന്ന ലംബം y-അക്ഷമായും എടുക്കുകയാണെങ്കില്‍, s (a, o)-ഉം PM = x+a യുമാണെന്നുകാണാം. SP = PM-ല്‍ നിന്നു Y2 = 4 ax എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. S-ല്‍ കൂടി അക്ഷത്തിനുള്ള ലംബഖണ്ഡമാണ് LSL' . LSL' = 4a. S പരവളയത്തിന്റെ അഭികേന്ദ്ര(focus)വും d നിയന്ത്രണരേഖ(directrix)യുമാണ്.

ദീര്‍ഘവൃത്തം

Ellipse

CA, CB എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങള്‍; C കേന്ദ്രവും. (ചിത്രം 17) CA = a എന്നെടുത്താല്‍ CS = ae, CZ = a/e എന്നിവ നിര്‍ണയിക്കാം. ഇവിടെ e ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയാണ്. ഒന്നിനെക്കാള്‍ ചെറുതായിരിക്കും e. SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാല്‍

x²/a² + y²/b² =1, b²=a²(1-e²)

എന്നു ദീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യം ഉണ്ടാകുന്നു. b = a ആയാല്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തം വൃത്തമായി മാറും.

ബഹിര്‍വളയം

Hyperbola

ചിത്രം 18-ല്‍ ചിത്രം (17)-ലെ നിര്‍ദിഷ്ടാങ്കപദ്ധതിതന്നെ. A, A' എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ ബഹിര്‍വളയത്തിലെ ബിന്ദുക്കളാണെന്നു കരുതുക. AA' = 2a എന്നെടുത്ത് അതിന്റെ മധ്യബിന്ദു C കേന്ദ്രമായും C യിലൂടെയുള്ള ലംബം CY എന്നത് Y-അക്ഷമായും സ്വീകരിക്കുക. CA = a, CZ = a/e, CS = ae. ഇവിടെ ഉത്കേന്ദ്രത e ഒന്നിനേക്കാള്‍ വലുതായിരിക്കും. P(x,y) ബഹിര്‍വളയത്തിലെ ഒരു സാമാന്യ ബിന്ദുവാണ് SP = e PM ഉപയോഗിച്ചാല്‍

x²/a² - y²/b² = 1 b² = a²(e²-1)

എന്ന സമവാക്യങ്ങള്‍ സിദ്ധിക്കുന്നു.

x = at², y = 2 at പരവളയത്തിന്റെയും x = a cos ø, y= b sin ø ദീീര്‍ഘവൃത്തത്തിന്റെയും x = a sec ø, y = b tan ø, ബഹിര്‍വളയത്തിന്റേയും പ്രാചലപ്രതിനിധാനങ്ങളാണ്.

ജ്യാവ് (chord), സ്പര്‍ശകം (tangent) എന്നിങ്ങനെയുള്ള മറ്റു പ്രമേയങ്ങളും വിശ്ളേഷക ജ്യാമിതിയില്‍ പ്രതിപാദിക്കപ്പെടുന്നു.

ത്രിമാന പദ്ധതി

Three Dimensional System

ഭൌതിക സ്വഭാവമുള്ള ഏതു വസ്തുവിനും മൂന്നു അളവുകളുണ്ട്: നീളം, വീതി, കനം. ഇവയെ ആസ്പദമാക്കിയുള്ള പദ്ധതിയാണിത്. ദ്വിമാനപദ്ധതിയുടെ ഒരു വിപുലീകരണം മാത്രമാണിത്.

പരസ്പരം ലംബങ്ങളായ മൂന്നു ഋജുരേഖകള്‍ O എന്ന ബിന്ദുവില്‍ കൂട്ടിമുട്ടുന്നു (ചിത്രം 19). XOX', YOY', ZOZ' എന്നിവയാണ് അക്ഷങ്ങള്‍; O കേന്ദ്രവും. XOY, YOZ, ZOX എന്നീ മൂന്നു സമതലങ്ങള്‍ ഈരണ്ടെണ്ണം യോജിക്കുന്ന രേഖകളാണ് OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷങ്ങള്‍. p എന്നൊരു സാമാന്യ ബിന്ദുവിന്റെ നിര്‍ദിഷ്ടാങ്കങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ p-ല്‍ നിന്നു XOY തലത്തിലേക്കു ലംബം വരയ്ക്കുന്നു. M ലംബത്തിന്റെ പാദമാണ്. M-ല്‍ നിന്നു XOX' ലേക്കു ലംബം MN വരയ്ക്കുക. എങ്കില്‍ ON, NM, MP എന്നിവ, ദിശകള്‍ കൂടി കണക്കിലെടുത്തുകൊണ്ട് x, y, z എന്ന ക്രമത്തില്‍ p-യുടെ അങ്കങ്ങളാണെന്നു പറയുന്നു.

ദിശാകോണുകളും ദിശാകൊസൈനുകളും

lഒരു സാമാന്യ ഋജുരേഖയും l¹ഈരേഖയ്ക്കു സമാന്തരമായി കേന്ദ്രത്തിലൂടെയുള്ള രേഖയും αβγഎന്നിവ OX, OY, OZ എന്നീ അക്ഷരേഖകളുമായി l¹ഉണ്ടാക്കുന്ന കോണുകളുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക.എങ്കില്‍αβ&gama;എന്നിവ l-ന്റെ ദിശാകോണുകളും cosα, cosβcos&gama;ദിശാകൊസൈനുകളുമാണ്.cos²α, cos²βB,cos²γ=1എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ കഴിയും.y2+u2=1 ആയിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള ഏതു സംഖ്യകളും ^,u,yക്ലുപ്തദിശയിലുള്ള ഏതു ഋജുരേഖയുടേയും ദിശാകൊസൈനുകളായിരിക്കും. ദിശാകൊസൈനുകള്‍ക്ക് ആനുപാതികമായിട്ടുള്ള a, b, c സംഖ്യകളെ ദിശാസംഖ്യകളെന്നു പറയുന്നു. x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁ എന്നിവ AB ഋജുരേഖയുടെ ദിശാസംഖ്യകളാണ്. AB യിലെ ഒരു ബിന്ദുവാണ് p(x,y) എങ്കില്‍ AP-ക്കും PB-ക്കും ദിശാസംഖ്യകള്‍ ഒരേ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. അതായത് x₁-x = k (x₂-x₁),y₁-y = k (y₂-y₁), z₁-z = k (z₂ - z₁). ഇതില്‍ k ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയാണ്. AB യുടെ ദിശാസംഖ്യകള്‍

ആണ്;d = √(x₁-x₂)2+(y₁-y₂ )²+(z₁-z₂)² .l₁,l₂ എന്നീ ഋജുരേഖകള്‍ തമ്മിലുള്ള കോണ്‍യും അവയുടെ ദിശാകൊസൈനുകള്‍ cos α₁ cosβ₁ cosγ₁ cos α₂ cosβ₂cosγ₂എന്നിവയുമാണെങ്കില്‍ cosø=cosα₁cosα₂+ cosβ₁cosβ₂+cosγ₁ cosγ₂ആയിരിക്കും. ക്രമത്തില്‍ a₁, b₁, c₁; a₂, b₂, c ₂ എന്നിവ രണ്ടു ലംബരേഖകളുടെ ദിശാസംഖ്യകളെങ്കില്‍, a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 0 ആകുന്നു.

തലങ്ങളും സമവാക്യങ്ങളും

Surfaces and Equations

ചിത്രം 20-ല്‍, π ഒരു സമതലം; l π-ക്കു ലംബരേഖ; a, b, c l-ന്റെ ദിശാസംഖ്യകള്‍; A(x₁, y₁, z₁) l ന്റെ പാദം;B(x,y,z) π -ലുള്ള മറ്റൊരു ബിന്ദു. ഇതില്‍ BAയും l രേഖയും ലംബമാണ്. അതുകൊണ്ട്

a(x₁-x) + b(y₁-y) + c(z₁-z) = 0. ഏതെങ്കിലുമൊരു സമതലവുമായി ഇങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു ഏകഘാത സമവാക്യമുണ്ടായിരിക്കും. അതായത് ax + by + cz + d = 0 എന്ന ഏകഘാതസമവാക്യത്തെ A(x₁, y₁, z₁) എന്നൊരു ബിന്ദു 'തൃപ്തിപ്പെടുത്തു'മെങ്കില്‍, ഈ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നതും a, b, c എന്നിവ ദിശാസംഖ്യകളുള്ള ഋജുരേഖയ്ക്കു ലംബവുമായ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം. a(x-x₁) + b(y-y₁) + c(z-z₁) = 0 ആയിരിക്കും. yoz,zox,xoyഛദ, ദഛത, തഛഥ എന്നീ സമതലങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ x=o,z=o = 0, എന്നിവയാണ്.

ലംബീയ ദൂരം

Perpendicular Distance

A(x₁,y₁,z₁)-ല്‍ നിന്നു ax + by + cz + d = 0 എന്ന സമതലത്തിലേക്കുള്ള

a₁x+ b₁y +c₁z + d₁ = 0, a₂x + b₂ + y₂ + d₂ = 0 എന്നീ സമതലങ്ങള്‍ സമാന്തരമാണെങ്കില്‍, a₁, b₁, c₁; a₂, b₂, c₂ എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ അനുപാതത്തിലായിരിക്കും. ലംബമാണെങ്കില്‍, a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂= 0. ഒരേ രേഖയിലല്ലാത്ത മൂന്നു ബിന്ദുക്കള്‍ A(x_i,y_i,z_i),

i = 1,2,3 ഒരു സമതലം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ആ സമതലത്തിന്റെ സമവാക്യം:

a_i x + b_i,y + c_iz + d = 0, i = 1, 2, 3; എന്നീ 3 സമതലങ്ങള്‍ ഒരേ ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥ.

f(x, y, z) = 0 എന്നൊരു സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ബിന്ദുക്കളുടെ ബിന്ദുപഥത്തെ പ്രതലം (surface) എന്നു പറയുന്നു. വക്രരേഖകളുണ്ടാകുന്നതു രണ്ടു തലങ്ങള്‍ കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോഴാണ്. അതുകൊണ്ട് f₁(x1, y1 z) = 0, f₂ (x, y, z) = 0 എന്നിവ ചേര്‍ന്ന് ആ വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നു; പ്രാചലം (t) ഉപയോഗിച്ചും വക്രരേഖകളെ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാം:

x = f(t), y = g(t), z = h(t).

ഗോള പ്രതലം

Spherical Surface

r വ്യാസാര്‍ധവും (x₁, y₁, z₁) കേന്ദ്രവുമുള്ള ഗോളപ്രതലത്തിന്റെ സമവാക്യം

(x-x₁)² + (y-y₁)² + (z-z₁)² = r² ആണ്. അതായത്,

x² + y² + z² + 2 dx + 2 ey + 2 fz + g = 0.

വൃത്തസ്തംഭ പ്രതലം

Cylindrical Surface

zഅക്ഷത്തിനു സമാന്തരമായ വൃത്തസ്തംഭത്തിന്റെ സമവാക്യം

x2+y2 = r2, z = 0; വൃത്താകാരമായ പരിച്ഛേദത്തിന്റെ വ്യാസാര്‍ധം r

ചക്രണതലം (surface of rotation ) ഉണ്ടാകുന്നത് സമതലവക്രം (c: plane curve) ഏതെങ്കിലുമൊരു നേര്‍രേഖ(l)യ്ക്കു ചുറ്റും കറങ്ങുമ്പോഴാണ്. f(x,y) = 0, z = 0 എന്നിവ c എന്ന വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളും l രേഖ x-അക്ഷവുമാണെങ്കില്‍ ചക്രണതലസമവാക്യം f(x,√y²+z² ആയിരിക്കും.

n-മാന പദ്ധതി

ത്രിമാനപദ്ധതിയുടെ മാതൃകയെ സാമാന്യവത്കരിക്കുമ്പോള്‍ n-മാനപദ്ധതിയുണ്ടാകുന്നു. താത്ത്വിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെന്നല്ല ഭൌതികശാസ്ത്രം, സ്ഥിതിവിവരശാസ്ത്രം എന്നിവയിലും n-മാനപദ്ധതി ഫലപ്രദമായി ഉപയോഗിച്ചുവരുന്നു. നോ: ആള്‍ജിബ്ര, ത്രികോണമിതി, ജ്യാമിതി

അനാലിസിസ് (ഗണിതം)

ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപരമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്ന ശാഖ. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മറ്റു ശാഖകളാണ് ജ്യാമിതി അഥവാ ക്ഷേത്രഗണിതം (Geometry), ടോപോളജി (Topology), ബീജഗണിതം (Algebra), അങ്കഗണിതം (Arithmetic) എന്നിവ. എല്ലാ ശാഖകളിലേക്കും വ്യാപിക്കുന്ന ബൃഹത്തായ വളര്‍ച്ചയാണ് 19-ാം ശ. മുതല്‍ അനാലിസിസിന് ഉണ്ടായിട്ടുള്ളത്. വിശ്ളേഷണം അഥവാ വിശ്ളേഷികം എന്നും ഈ ഗണിതശാഖയെ വിളിക്കുന്നു.

ചരിത്രം

ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പ്രാചീനകാലത്തു ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലുമുണ്ടായിട്ടുള്ള ജ്യാമിതീയവും ബീജഗണിതപരവുമായ വളര്‍ച്ച അനാലിസിസിന്റെ അന്തര്‍ധാരകളായിരിക്കാമെങ്കിലും എ.ഡി. 1600 മുതലാണ് ഇതു ശ്രദ്ധാര്‍ഹമായ ഒരു ശാസ്ത്രശാഖയായിത്തീര്‍ന്നത്. ബലതന്ത്ര (Mechanics)ത്തിന്റെയും താത്ത്വികഭൌതിക (Theoretical Physics)ത്തിന്റെയും അവശ്യ വളര്‍ച്ചയ്ക്കാധാരമായിട്ടാണ് ഈ ശാഖയുണ്ടായത്. അവകലനവും സമാകലനവും (Diiferentiation and integration), സാധാരണ അവകലസമവാക്യങ്ങളും വ്യതിയാനകലനവും (Ordinary Differential equations and Different Calculus) ബലതന്ത്രത്തിനുവേണ്ടിയാണുണ്ടായത്. ധ്വാനിക (Acoustics)ത്തില്‍ നിന്നും താപഗതിക (Thermodynamics)ത്തില്‍ നിന്നും ഫൂറിയേ ശ്രേണി(Fourier series)യും പ്രകാശിക(Optics)ത്തില്‍നിന്ന് സമ്മിശ്ര വിശ്ളേഷണവും (Complex Analysis), ഇലാസ്തികത (Elasticity), ദ്രവഗതികം (Hydrodynamics), വിദ്യുത്ഗതികം (Electrodynamics) എന്നിവയില്‍ നിന്ന് ആംശിക-അവകലവാക്യങ്ങളും (Partial Diiferential equations) പ്രേരിതമായെന്നു സാമാന്യമായി പറയാം. 19-ാം ശ.-ത്തില്‍ ബലതന്ത്രം, താപഗതികം എന്നിവയിലെ സാംഖ്യികദര്‍ശനങ്ങളില്‍നിന്നാണ് സാംഖ്യികസംഭാവ്യത (Statistical probability) പോലും ഉണ്ടായതെന്നവാദം നിലവിലുണ്ട്. ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ ഐസക്ന്യൂട്ടനും (1642-1727) ഗോട്ഫ്രീഡ് ലൈബ്നിറ്റ്സും (1646-1716) കലന(Calculus)ത്തിന്റെ നിശ്ചിതമായ മാര്‍ഗങ്ങള്‍ കണ്ടെത്തിയതോടെയാണ് അനാലിസിസ് സര്‍വശാസ്ത്രവ്യാപിയായ ഒരു വിജ്ഞാനശാഖയായിത്തീര്‍ന്നത്.

സ്വഭാവം

അവകലനവും സമാകലനവും അനാലിസിസിലെ അടിസ്ഥാനമാര്‍ഗങ്ങളാണെങ്കിലും അനന്തത (Infinityശ്യ) ആണ് അടിസ്ഥാനതത്ത്വം. വാസ്തവത്തില്‍ ഗണിതശാസ്ത്രം തന്നെ അനന്തതകളുടെ പഠനമാണെന്നു പറയാം. പരിമിതമായ കാര്യങ്ങള്‍ മിക്കവയും പ്രാഥമികഗണിതത്തില്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ അവശേഷിക്കുന്ന തൊണ്ണൂറു ശ.മാ.വും അനന്തത ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പഠനങ്ങളാണ്. അനന്തമായ വലുപ്പം, അനന്തസൂക്ഷ്മം, അനന്തസാമീപ്യം, അനന്തമായ ഉപവിഭജനം എന്നിവയും അനന്ത-അനുക്രമം, അനന്തശ്രേണി, ഫലനം, ഫലനത്തിന്റെ അവിച്ഛിന്നത, ഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നം (derivative), ഫലനത്തിന്റെ സമാകലം (Integral) എന്നിവയുമാണ് വിശ്ളേഷണത്തില്‍ സ്പര്‍ശിക്കപ്പെടുന്ന കാര്യങ്ങള്‍. അവകലജഗുണാങ്കം (differential) ഗണിത തത്ത്വങ്ങളിലെന്നല്ല, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം പോലുള്ള എല്ലാ വിജ്ഞാനശാഖകളിലും മൌലികപ്രാധാന്യമര്‍ഹിക്കുന്ന ആശയമാണ്.

വാസ്തവിക സംഖ്യകള്‍

ശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങള്‍ ഗണിതത്തിന്റെ ഭാഷയില്‍ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ അവയ്ക്കു പ്രത്യേകമായ തെളിമയും കൃത്യതയുമുണ്ടാകുന്നു. യുക്തിയുക്തമായ ഒരു പരസ്പരബന്ധം ആ തത്ത്വങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നതായി മനസ്സിലാക്കാനും കഴിയുന്നു. ഭൌതികശാസ്ത്രത്തിലെ ധ്വാനികം, ദ്രവഗതികം, വൈദ്യുതീപ്രാകാശികം എന്നിവയിലെല്ലാം തരംഗങ്ങളുടെ ഗതിവിഗതികള്‍ മിക്കവാറും ഒരേതരത്തിലുള്ള അവകലസമവാക്യങ്ങള്‍കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. ശാസ്ത്രീയ വിവരണങ്ങള്‍ സംഖ്യകളിലൂടെയാണ് പ്രകടമാവുന്നത്; അതായത്; വാസ്തവിക സംഖ്യകളിലൂടെ പ്രകടമാകുന്ന ശാസ്ത്രസത്യങ്ങള്‍ കൂടുതല്‍ വ്യക്തവും കണിശവുമായിരിക്കും. സംഖ്യകളിലൂടെയുള്ള പ്രകടനസമ്പ്രദായം 17-ാം ശ.-ത്തിലാണ് നടപ്പായതെന്നു പറയാം. 20-ാം ശ.ത്തോടെ വാസ്തവിക പൂര്‍ണസംഖ്യകളോ സംഖ്യകള്‍ തന്നെയോ കൂടാതെ ഭൌതിക സത്യങ്ങള്‍ വെളിപ്പെടുത്തുന്ന സമ്പ്രദായം വളര്‍ന്നിട്ടുണ്ട്. 'അതീതഗണിതശാസ്ത്ര' (Meta Mathematics) ത്തിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കള്‍ സംഖ്യാപ്രകടന സമ്പ്രദായത്തില്‍ അതീവ സംശയാലുക്കളാണ്. സംഖ്യകളിലൂടെ ശാസ്ത്രസത്യങ്ങള്‍ പോലും കാണുന്നതില്‍ വളരെ അപകാതയുണ്ടെന്ന് ഈ നൂതന ഗണിതശാഖയിലൂടെ തെളിയിക്കാനുള്ള ശ്രമം ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്.

ബി.സി. 5-ഉം 4-ഉം ശ.-ങ്ങളില്‍ ഗ്രീക്കുകാര്‍ അനാലിസിസിലെ അതിപ്രധാനമായ ചില പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കു പരിഹാരം നല്കി. √2 ഒരു വിഗണസംഖ്യയാണ് (irrational number: അനാനുപാതികസംഖ്യ). ഗ്രീസിലും ഇന്ത്യയിലും π = 3.14159.... എന്ന വിഗണസംഖ്യയെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളുണ്ടായി. വ്യാസാര്‍ധം 1 ആയിട്ടുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം ആണ് π വൃത്തത്തിനു തുല്യവ്യാപ്തിയുള്ള ചതുരം നിര്‍മിക്കുന്ന പ്രശ്നത്തിനു പ്രാചീനകാലത്തുതന്നെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ പരിശ്രമം ആരംഭിച്ചിരുന്നു. ഈ വഴിക്കുള്ള പരിശ്രമങ്ങളെല്ലാം 17-ാം ശ.-ത്തിലെ സമാകലസിദ്ധാന്തത്തിനും കലനത്തിന്റെ താത്വികവളര്‍ച്ചയ്ക്കും കാരണമായി.

ഗണസിദ്ധാന്ത(Set Theory)ത്തിന്റെ ആവിര്‍ഭാവത്തോടെ അതിസൂക്ഷ്മത (infinitely small), അത്യനന്തം (infinitely large) എന്നീ ആശയങ്ങള്‍ക്കു പുതിയ ഭാവങ്ങളുണ്ടായി. അനാലിസിസ് മനസ്സിലാക്കാന്‍ അവശ്യം അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ടത് ഗണസിദ്ധാന്തമാണ്. ക്ളാസിക്കല്‍ അനാലിസിസ് ഗണസിദ്ധാന്തത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിലും അതിലെ ആശയങ്ങള്‍ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ പഠിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തുടര്‍ന്നുള്ള വിശദാംശങ്ങള്‍ക്ക് ഗണസിദ്ധാന്തബോധം ആവശ്യമാണ്.

ക്രമം

order

വാസ്തവിക സംഖ്യകളെ സംബന്ധിച്ച ഒരാശയമാണ് ക്രമം. ഗണങ്ങളെയും 'ക്രമ'പ്പെടുത്താന്‍ കഴിയും. 8-നെക്കാള്‍ ചെറുതാണ് 3 എന്നത് 3 < 8 എന്നും 3 നെക്കാള്‍ വലുതാണ് 8 എന്നത് 8 > 3 എന്നും സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. സമതയും കൂടി ഉള്‍പ്പെടുത്തുമ്പോള്‍ ≤,≥ എന്നീ പ്രതീകങ്ങളാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഉദാ. a&leb;; c≥d; ഇതില്‍ a,b, c, d എന്നിവ വാസ്തവിക സംഖ്യകളാണ്.

നിരപേക്ഷമൂല്യം

Absolute value

പൂര്‍ണത

Completenes

വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഇതില്‍ ആശയങ്ങള്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണ(S)ത്തിലുള്ള ഏത് അംഗത്തിനെക്കാളും വലിയതായി ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യ (b) സ്വീകരിക്കാനുണ്ടെങ്കില്‍, ആ സംഖ്യ b ആണ്, s ഗണത്തിന്റെ ഒരു b എന്ന ഒരു ഉന്നത പരിബന്ധം (upper bound); S-ലെ ഒരംഗമാകണമെന്നില്ല. ഉദാ. S ={1/8,1/4,1/2}എന്ന ഗണത്തിലെ ഏതു സംഖ്യയും 1-നെക്കാള്‍ ചെറുതാണ്. അതുകൊണ്ട് ട-ന്റെ ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമാണ് 1. S ഗണത്തിനുണ്ടാകാവുന്ന അനവധി പരിബന്ധങ്ങളില്‍വച്ച് ഏറ്റവും ചെറുതിനെയാണ് അല്പതമ-ഉന്നതപരിബന്ധം (least upper bound:lub ) അഥവാ സുപ്രീമം (Supremum:sup) എന്നു പറയുന്നത്. അതുപോലെ ഏത് അംഗത്തെക്കാളും ചെറുതായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യയുണ്ടെങ്കില്‍ അതിനെ ഒരു നിമ്നപരിബന്ധം (lower bound) എന്നും അത്തരം പരിബന്ധങ്ങളില്‍ ഏറ്റവും വലിയതിനെ അധികതമ നിമ്നപരിബന്ധം (greatest lower bound:glb) അഥവാ ഇന്‍ഫിമം (infimum: inf) എന്നും പറയുന്നു.

വാസ്തവികസംഖ്യകളെ നേര്‍വരയിലെ ബിന്ദുക്കളുമായി അനുയോഗബന്ധത്തില്‍ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാന്‍ കഴിയും. ആ രേഖയെയാണ് വാസ്തവിക സംഖ്യാരേഖയെന്നോ വാസ്തവികരേഖയെന്നോ വാസ്തവികാക്ഷമെന്നോ പറയുന്നത്; R എന്നാണ് ചിഹ്നം. R² വാസ്തവിക സമതലത്തിലെ എല്ലാ ബിന്ദുക്കളും ചേര്‍ന്ന ഗണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പൂര്‍ണതാതത്ത്വം.

ശൂന്യമല്ലാത്ത ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണമാണ് A എന്നു കരുതുക. R-ന്റെ ഉപഗണമായിരിക്കും A. Rല്‍ A-യ്ക്ക് ഒരു ഉന്നതപരിബന്ധമുണ്ടെങ്കില്‍ R-ല്‍ത്തന്നെ അതിന് സുപ്രീമവും ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് പൂര്‍ണതാതത്ത്വം. R-നെ സംബന്ധിച്ചാണിവിടെ വ്യാഖ്യാനിച്ചതെങ്കിലും മറ്റു ചില സാമാന്യഗണങ്ങള്‍ക്കും 'പൂര്‍ണത'യുണ്ട്. R ഒരു പൂര്‍ണക്രമിക ഫീല്‍ഡ് (completely ordered field) ആണ്. b ഒരു വാസ്തവിക സംഖ്യയും c ധനവാസ്തവികസംഖ്യയുമാണ് എന്നാണെങ്കില്‍ nc > b ആയിരിക്കുന്നവിധം n എന്നൊരു നിസര്‍ഗസംഖ്യയുണ്ടായിരിക്കും. ഇതിന് 'ആര്‍ക്കിമിഡീസ് തത്ത്വ'മെന്നാണ് പറയുന്നത്. അതുപോലെ a, b (a < b) എന്നീ ക്രമത്തിലുള്ള വാസ്തവികസംഖ്യകള്‍ക്കിടയില്‍ ഒരു ഗണസംഖ്യ (rational number: ആനുപാതികസംഖ്യ)r ഉണ്ടായിരിക്കും. അതായത് a < r < b; ഒന്നുണ്ടെങ്കില്‍ അനന്തം ഗണസംഖ്യകളും ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഏകദിഷ്ടഫലനങ്ങള്‍

( Monotonic functions).

A , B ഇവ ശൂന്യമല്ലാത്ത രണ്ടു വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണങ്ങളും f : A → B ഒരു ഫലനവും ആണെന്നു കരുതുക. x₁, x₂ ഇവ A-യിലെ അംഗങ്ങളും x₁ < x₂ ഉം ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x₁) ≤ f(x₂) ആണെങ്കില്‍ f വര്‍ധമാനഫലനം ആണ് എന്നു പറയുന്നു. , x₁, x₂ ആകുമ്പോഴെല്ലാം f(x₁) ≥ f(x₂) ആണെങ്കില്‍ f ഹ്രസ്വമാനഫലനം ആണെന്നും പറയുന്നു. അ എന്ന ഗണത്തില്‍ f എന്ന ഫലനം വര്‍ധമാനമോ അഥവാ ഹ്രസ്വമാനമോ ആണെങ്കില്‍ f ഏകദിഷ്ടമാണ് എന്നു പറയുന്നു.

മിതീയ ഗണങ്ങള്‍

(Metric Sets).

ദൂരഫലനം അഥവാ മെട്രിക്'

a, b എന്നിവ A എന്ന ഗണത്തിലെ രണ്ടംഗങ്ങളാണെന്നു കരുതുക. d(a, b) എന്ന ചിഹ്നം കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നതും a, b എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താവുന്നതുമായ ഒരു വാസ്തവികസംഖ്യ താഴെ ചേര്‍ക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകള്‍ക്കു വിധേയമാണെങ്കില്‍ d ഒരു മെട്രിക് അഥവാ ദൂരഫലനമാണെന്നു പറയുന്നു; (i) d (a, b) അന്യൂന സംഖ്യയാണ്; അതായത് d(a, b) ≥o.(ii) a-ഉം b-ഉം തുല്യമാണെങ്കില്‍ മാത്രമേ, d(a, b)യുടെ മൂല്യം പൂജ്യം ആകുന്നുള്ളു. (iii) d(a,b)ഉം d(a, b)ഉം തുല്യമാണ്. (iv) a, b, c എന്നിവ A ഗണത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളാണെങ്കില്‍, d(a, b) + d(b, c) ≥ d(a, c). ഇതിനെ ത്രികോണ-അസമത എന്നു പറയുന്നു.

മിതീയഗണം എന്നതുകൊണ്ടുദ്ദേശിക്കുന്നത്, ഒരു ഗണവും (A) അതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു മെട്രിക്കും (d) ചേര്‍ന്ന ജോടി (A,d) ആണ്. ഇതിന് A എന്നു മാത്രമായിട്ടും പ്രതീകം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ഉദാ. A {x:x വാസ്തവികസംഖ്യ} A-യിലുള്ള ഏതു അംഗജോടികള്‍ (x₁,x₂)ക്കും യോജിക്കുന്നവിധം d-യെ നിര്‍വചിക്കാം. d (x₁,x₂) = |x₁-x₂| ഒരു മെട്രിക് ആണ്.

സാമീപ്യങ്ങള്‍

Neighbourhoods

 

 

(A, d) മിതീയഗണമാണെന്നിരിക്കട്ടെ. A-യിലെ ഒരുസ്ഥിരബിന്ദുവും ε ഒരു ധനവാസ്തവിക സംഖ്യയുമാണെന്നു കരുതുക. ഈ വ്യവസ്ഥിതിയില്‍ d(a,x)-ന്റെ മൂല്യം ε-നെക്കാള്‍ ചെറുതായിരിക്കുന്ന വിധത്തിലുള്ള A-യിലെ x അംഗങ്ങള്‍ ചേര്‍ന്ന ഗണത്തെ a-യുടെ ഒരു സാമീപ്യം എന്നു പറയുന്നു; N(a, ε) എന്നാണിതിന്റെ പ്രതീകം. അതായത് N (a, ε) = {x:x € A,d(a,x)< ε}. ഈ ഗണത്തില്‍നിന്ന് a എന്ന ബിന്ദു ഒഴിവാക്കിയാല്‍, അവശേഷിക്കുന്നത്, N' (a, ε) അപവര്‍ജിതസാമീപ്യം (deleted nighbourhood) ആണ്.

ആന്തരബിന്ദുക്കളും അതിര്‍ത്തിബിന്ദുക്കളും

(Interior points and boundary points).

m എന്ന ഗണത്തിന്റെ ഉപഗണമാണ് A എന്നു കരുതുക. ഒരു ഗണ(A)ത്തിലെ അംഗം 'a' ആ ഗണത്തിന്റെ ഒരു 'ആന്തരബിന്ദു'വാകുന്നത്, അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഒരു സാമീപ്യം N (a, ε) മുഴുവനും അ-ല്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുമ്പോഴാണ്; സാമീപ്യം ഒന്നും A-യില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നില്ലെങ്കില്‍ ആ അംഗം 'a' A-യുടെ ഒരു ബഹിര്‍ബിന്ദു (exterior point) വും ആകും; ഓരോ സാമീപ്യ N(a, ε) വും A യിലെയും A-യ്ക്കു പുറത്തുള്ള ഭാഗത്തെയും അതായത്, M-A യേയും സന്ധിക്കുന്നു (Intersect) എങ്കില്‍ A-യുടെ ഒരു അതിര്‍ബിന്ദുവാണ് a എന്നു പറയുന്നു. ആന്തരബിന്ദു സമൂഹത്തിന് ആ ഗണത്തിന്റെ ആന്തരഭാഗം (interior) എന്നും ബാഹ്യബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹത്തിന് ആ ഗണത്തിന്റെ ബഹിര്‍ഭാഗം (exterior) എന്നും പറയുന്നു; അതിര്‍ബിന്ദുക്കളുടെ സമൂഹം ആ ഗണത്തിന്റെ അതിര്‍ത്തിഭാഗ(boundary)വും.

അതിര്‍ത്തിഭാഗവുംകൂടി ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഗണത്തെ സംവൃതഗണം (closed set) എന്നും ആന്തരഭാഗം ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഗണത്തെ വിവൃതഗണം (open set) എന്നും പറയുന്നു.

M എന്ന മിതീയഗണത്തിന്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ് A; M-ലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവാണ് a. a-യുടെ ഓരോ അപവര്‍ജിത സാമീപ്യത്തിലും a-യുടെ ഒരു ബിന്ദുവെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കില്‍, a എന്ന ബിന്ദു A-യുടെ ഒരു സീമാബിന്ദു (limit point) ആണെന്നു പറയുന്നു. ഒരു ഗണത്തിന്റെ എല്ലാ സീമാബിന്ദുക്കളും അതില്‍ത്തന്നെ ഉള്‍പ്പെടുന്നുവെങ്കില്‍ ആ ഗണം സംവൃതഗണമാണ്. രണ്ടു ഗണങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ പൊതുബിന്ദുവില്ലാതിരിക്കയും ഒന്നു മറ്റൊന്നിന്റെ സീമാബിന്ദുക്കള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളാതിരിക്കയുമാണെങ്കില്‍, അവ വിച്ഛേദിതഗണങ്ങളാണ്. രണ്ടു വിച്ഛേദിതഗണങ്ങളുടെ സംയോഗം (union) ആയി പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാന്‍ കഴിയാത്ത ഗണം ബന്ധിത (connected)വും ആണ്.

അനുക്രമങ്ങള്‍

അനുക്രമം നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത് ഒരു ഫലനമായിട്ടാണ്. f : N → M അതായത്, നിസര്‍ഗസംഖ്യകളെ ങ എന്ന ഗണത്തിലെ അംഗങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് ങ-ലെ ഒരു അനുക്രമം.

അനുക്രമസീമ

'ബിന്ദുക്കള്‍' ക്രമമായിരിക്കുമ്പോള്‍ ആ അനുക്രമത്തിന്റെ പ്രവണത നിര്‍ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയമാണ് സീമ. ഒരു സ്ഥിരബിന്ദുവാണ് സീമയെന്നു പറയാം. സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാല്‍ പരിമേയമായ ഏതാനും അംഗങ്ങളൊഴിച്ച് ശേഷിക്കുന്ന മറ്റു സാന്തമോ അനന്തമോ അംഗങ്ങള്‍ മുഴുവനും ഉള്‍പ്പെടുന്നതായ ഒരു സാമീപ്യം b എന്ന ഒരു ബിന്ദുവിനുണ്ടെങ്കില്‍, bയെ അനുക്രമത്തിന്റെ സീമയെന്ന് പറയുന്നു. ഇതിനെ f(n)=b , f(n) = b. എന്ന് എഴുതും.{1,1/2,1/3,...........}. എന്ന അനുക്രമത്തിന്റെ സീമ 0 ആണ്. എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്‍ N (0,ε) എന്ന സാമീപ്യത്തില്‍ അതിലെ അനന്തം അംഗങ്ങള്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു. ε എന്ന ധനവാസ്തവികസംഖ്യയെ അപേക്ഷിച്ച് N (0,ε) എന്ന ഗണത്തിനു പുറമേ പോകുന്ന അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്. സീമ ഉള്ള അനുക്രമത്തെ അഭികേന്ദ്രസരണമെന്നും അല്ലാത്തതിനെ അപകേന്ദ്രസരണമെന്നും പറയുന്നു.

കോഷി അനുക്രമങ്ങള്‍ =

അനുക്രമത്തിലെ ഒരു പരിധിക്കുശേഷമുള്ള പദങ്ങളില്‍ ഏതു രണ്ടെണ്ണവും തമ്മിലുള്ള ദൂരം വളരെ ചെറിയ ഒരു ധനവാസ്തവിക സംഖ്യയ്ക്കു താഴെയായിരിക്കുമെങ്കില്‍ ആ അനുക്രമം ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും. അഭികേന്ദ്രസരണം ആയ ഏതു അനുക്രമത്തിന്റെയും ഒരു സാമാന്യ സവിശേഷതയാണിത്. എന്നാല്‍ എല്ലാ മിതീയ ഗണങ്ങളിലും കോഷി അനുക്രമങ്ങള്‍ അഭികേന്ദ്രസരണമാകണമെന്നില്ല. വാസ്തവിക സംഖ്യാഅനുക്രമങ്ങളില്‍ കോഷി അനുക്രമങ്ങള്‍ എല്ലാം അഭികേന്ദ്രസരണങ്ങള്‍ ആണ്.

ബോല്‍സാനോ-വെയര്‍സ്റ്റ്രോസ് തത്ത്വം

സമതലത്തെ ആസ്പദമാക്കി, അതായത് R² എന്ന തലത്തെ സംബന്ധിച്ച്, ഈ തത്ത്വം തെളിയിക്കുന്ന മാര്‍ഗം ഉപയോഗിച്ചു തന്നെ സാമാന്യമായ യൂക്ളിഡിയാതലങ്ങള്‍ക്കും പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ഇതിന്റെ പ്രണേതാക്കള്‍ ബോല്‍സാനോ, വെയര്‍സ്റ്റ്രോസ് എന്നീ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരാണ്.

Rⁿ-എന്ന n-മാനതലത്തിലെ ഓരോ ബന്ധിത (bounded) അനന്തഗണത്തിനും ഒരു സീമാബിന്ദുവെങ്കിലുമുണ്ട്.

A എന്ന ഗണം ബന്ധിതമായതിനാല്‍ അതുള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംവൃത സമചതുരം (S) കണ്ടെത്താന്‍ കഴിയും. ഈ ചതുരത്തെ നാലു തുല്യ സമചതുരങ്ങളായി തിരിക്കാം (ചിത്രം 2). ഇതില്‍ ഏതെങ്കിലുമൊരു ചതുരത്തിന് (S₁), A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉള്‍ക്കൊള്ളാന്‍ കഴിയും. A അനന്തമായതിനാല്‍ ഇതു സാധ്യമാണ്. S₁-നെ വീണ്ടും നാലു തുല്യഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കുക. ഇവയിലൊന്നില്‍ A-യിലെ അനന്തമായ ഭാഗം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ലഘുചതുരം തുടര്‍ച്ചയായി കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം. അങ്ങനെ S, S₁, S₂, S₃ ... എന്നു ചുരുങ്ങിവരുന്ന ഗണങ്ങളുടെ അനുക്രമം ഉണ്ടാകുന്നു. n വര്‍ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ടു പോയാല്‍ S_n- എന്ന ചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറുതായി വരികയും സീമ 0 ആയിത്തീരുകയും ചെയ്യും. S₁-ല്‍ നിന്ന് (a₁,b₁) എന്നൊരു ബിന്ദു, S₂-ല്‍ നിന്നു മറ്റൊരു ബിന്ദു (a₂, b₂), S₃-ല്‍ നിന്നു (a₃, b₃) അങ്ങനെ S_n-ല്‍ നിന്നു (a_n, b_n) (ഈ ബിന്ദുക്കളെല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ്) എന്നിവ ക്രമത്തിലെടുത്താല്‍ അത് ഒരു കോഷി അനുക്രമമായിരിക്കും. S_n-ന്റെ വശത്തിനു സീമ 0 ആയിരിക്കുന്നതാണ് അതിനു കാരണം. അതുകൊണ്ട് (a,b) എന്നൊരു ബിന്ദു R²തലത്തിലുണ്ടാകുന്നു.അതിനുള്ളവ്യവസ്ഥ n സീമ →∞(a_n,b_n), = (a, b) എന്നതാണ്. N ((a, b), ε) എന്ന ഓരോ സാമീപ്യത്തിലും A യിലെ (a_n,b_n) എന്നീ അനന്തം വ്യത്യസ്ത ബിന്ദുക്കള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നതിനാല്‍, (a, b) എന്ന ബിന്ദു A യുടെ സീമാബിന്ദുവാണ് (ചിത്രം 2).

ഫലനത്തിന്റെ സീമ

A, B എന്നിവ രണ്ടു മിതീയ ഗണങ്ങളായിരിക്കട്ടെ; a, b എന്നിവ A, B ഗണങ്ങളിലെ സ്ഥിരബിന്ദുക്കളും. A ഗണത്തെയോ a ഒഴിവാക്കിക്കൊണ്ടുള്ള A-നെയോ (അതായത് A- {a}), B യിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് f,a ഉള്‍പെടാത്ത A യുടെ സാമീപ്യത്തെ N' (a, ∂) എന്നു സൂചിപ്പിക്കുക. ∂ ഒരു ധനപൂര്‍ണസംഖ്യയാണെന്നും N' (a, ∂) ശൂന്യഗണമല്ലെന്നും സങ്കല്പിക്കുക. B-ല്‍ N (b, ε) എന്ന bയുടെ ഓരോ സാമീപ്യത്തിനും അനുയോഗമായി A-ല്‍ N' (a, ∂) എന്നൊരു സാമീപ്യം ഉണ്ടാവുകയും N' (a, ∂) യുടെ രൂപാന്തരണമായ f [N' (a,∂) N (b,ε)-ല്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുകയും ആണെങ്കില്‍, f (x)-ന്റെ സീമ b ആണെന്നു പറയുന്നു; x →af(x)=b എന്നു രേഖപ്പെടുത്താം.

രണ്ടു ഫലനങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെയും വ്യത്യാസങ്ങളുടെയും കാര്‍ത്തീയ ഗുണിതത്തിന്റെയും ഹരണത്തിന്റെയും സീമകള്‍ യഥാക്രമം സീമകളുടെ ആകെത്തുകയും വ്യത്യാസവും ഗുണിതവും ഹരണഫലവുമാണ്; ഹാരകഫലനം ശൂന്യമാകരുതെന്ന നിബന്ധനയുണ്ട്.

അവിച്ഛിന്നത

Continuity

f(x) എന്ന ഫലനം a എന്ന ബിന്ദുവില്‍ അവിച്ഛിന്നമാകണമെങ്കില്‍ f(a)-ക്ക് നിശ്ചിതമായ ഒരു മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കണം; മാത്രമല്ല, x എന്ന ചരബിന്ദു a എന്ന ബിന്ദുവിനോട് അടുക്കുന്നതനുസരിച്ച് f(x) എന്ന ഫലനം f(a) എന്ന മൂല്യത്തോട് അടുക്കുകയും വേണം. ഇതു കൃത്യതയോടെ ഇപ്രകാരം പറയാം. ε ഒരു ധനസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ അതിനു ബന്ധപ്പെട്ട് δഎന്ന ഒരു ധനസംഖ്യ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും |x-a | <δആകുമ്പോഴെല്ലാം |f(x) - f(a)| < ε ആകുകയും ചെയ്താല്‍ f(x) എന്ന ഫലനം a-ല്‍ അവിച്ഛിന്നമാണെന്നു പറയും. ഒരു പ്രദേശത്തുള്ള ഓരോ ബിന്ദുവിലും ഒരു ഫലനം അവിച്ഛിന്നമാണെങ്കില്‍ മാത്രമേ ആ പ്രദേശത്തില്‍ ആ ഫലനം അവിച്ഛിന്നം ആണെന്നു പറയാവൂ.

അവിച്ഛിന്നമായ ഒരു ഫലനത്തിന്റെ രണ്ടു മൂല്യങ്ങള്‍ക്കിടയിലുള്ള ഒരു മൂല്യത്തിന് ചേരുന്നവിധം ആ മൂല്യങ്ങള്‍ക്ക് ആധാരമായ ബിന്ദുക്കള്‍0ക്കിടയില്‍ ഒരു ബിന്ദു ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഏകതാന-അവിച്ഛിന്നത

Uniform continuity

ഫലനത്തിന്റെ സീമയിലും അവിച്ഛിന്നതയിലും സൂചിപ്പിച്ചിരുന്ന ∂,εഎന്നീ ധനവാസ്തവിക സംഖ്യകള്‍ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. എന്നു മാത്രമല്ല ε a എന്ന ബിന്ദുവിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നതാണ് അവിച്ഛിന്നതയില്‍ കാണുന്നത്. എന്നാല്‍ ∂ a എന്ന ബിന്ദുവിനെ ആശ്രയിക്കാതെ തന്നെ ε-നുമായി മാത്രം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുകയെന്ന വ്യവസ്ഥയില്‍ അവിച്ഛിന്നതയുണ്ടാകുമ്പോള്‍ അതിന് ഏകതാന-അവിച്ഛിന്നതയെന്നു പറയുന്നു. ഏകതാന-അവിച്ഛിന്നമായ ഫലനം അവിച്ഛിന്നവുമാണ്. ഏകതാന-അവിച്ഛിന്നത അനാലിസിസില്‍ വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ള ആശയമാണ്.

വ്യുത്പന്നം

Derivative

R-ല്‍നിന്നുള്ള ഒരു ഗണത്തെ ഞലേക്കുതന്നെ രൂപാന്തരണം ചെയ്യുന്ന ഫലനമാണ് f എങ്കില്‍ R-ലുള്ള ഓരോ ബിന്ദു (a) വിനും f '(a) എന്നതു നിര്‍വചിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്: h പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്ന ഒരുചരമാണ്, f(a + h)-ഉം f(a)ഉം തമ്മി ലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ h കൊണ്ടു ഹരിച്ചുകിട്ടുന്ന ഫലത്തിന് h പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുമ്പോള്‍ സീമയുണ്ടെങ്കില്‍ അതിനു f '(a) എന്നു സൂചിപ്പിക്കുകയും f-ന്റെ a-യിലെ വ്യുത്പന്നമെന്നു വിളിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതായത്

h പൂജ്യത്തിലേക്കടുക്കുമ്പോള്‍, PQ എന്ന ജ്യാവ് (chord)

y = f(x) എന്ന രേഖയ്ക്കു P യിലുള്ള സ്പര്‍ശകമായി മാറുന്നു. അതുകൊണ്ട് f '(a) എന്നത് ഈ സ്പര്‍ശകത്തിന്റെ ചരിവുമാനം (slope) ആണ് (ചിത്രം 3).

വ്യുത്പന്നങ്ങളുടെ മാധ്യമൂല്യതത്ത്വം

Mean value theorem

മാധ്യമൂല്യതത്ത്വത്തിന്റെ മുന്നോടിയായി ചില വ്യവസ്ഥകള്‍ ക്കനുസരിച്ച് f എന്ന ഫലനത്തിന്റെ വ്യുത്പന്നം പൂജ്യമാകുന്ന ഘട്ടമാണ് റോള്‍ തത്ത്വത്തില്‍ (Rolle's Theorem) പ്രതിപാദിക്കുന്നത്; (a, b) എന്ന വിവൃതാന്തരാളത്തിലെ ഏത് സാമാന്യബിന്ദുവായ x-നും f '(x) ഉണ്ടായിരിക്കുക; [a b ] എന്ന സംവൃതാന്തരാളത്തില്‍ f അവിച്ഛിന്നമായിരിക്കുക; f(a), f(b) എന്നിവ തുല്യമായിരിക്കുക - ഈ വ്യവസ്ഥിതിയില്‍ f '(z) പൂജ്യമാകുന്ന വിധം (a, b) ല്‍ z എന്നൊരു ബിന്ദുവുണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് റോള്‍ തത്ത്വം. ഇതിലെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വ്യവസ്ഥകള്‍ മാത്രമായാല്‍,

f'(z) = f(b)-f(a)/b-a

 

 

ആയിരിക്കുന്ന വിധം (a, b) എന്ന വിവൃതാന്തരാളത്തില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ബിന്ദു (z) ഉണ്ടായിരിക്കും. ഇതാണ് മാധ്യമൂല്യതത്ത്വം. സാമാന്യവത്കരിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ഈ തത്ത്വത്തിന് ധാരാളം വ്യാഖ്യാനങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ട്. ഒരു പൊതുതത്ത്വം ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. f(x), g(x) എന്നിവ (a, b)-ല്‍ അവകലനക്ഷമവും (അതായത് f '(x), g'(x) ഉണ്ടായിരിക്കുക) a, b എന്നീ ബിന്ദുക്കളില്‍ f അവിച്ഛിന്നവുമാണെങ്കില്‍, (a, b)-യിലെ ഏതു x-നും g' (x) പൂജ്യമല്ലാത്തിടത്

f'(z)/g'(z) =f(b)-f(a)/g(b)-g(a)

ആയിരിക്കുന്നവിധം (a,b)-ല്‍ ഒരു ബിന്ദു (z) ഉണ്ടായിരിക്കും. f(a), g(a) എന്നിവ 0 ആയിരിക്കുമ്പോള്‍

f'(z) / g'(z) = f(b)/ g (b)

ആയിത്തീരും.

ഇവിടെ a,x എന്നിവയ്ക്കിടയിലാണ് z അതുകൊണ്ട് x a-യിലേക്ക് അടുക്കുമ്പോള്‍ z എന്ന ചരവും aയെ സമീപിക്കുന്നു.

ആംശികാവകലനവും സമ്പൂര്‍ണാവകലനവും

Partial differentiation and Total differentiation

x,y എന്നീ രണ്ടു സ്വതന്ത്രചരങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഫലനം f R²-ലെ ഒരു വിവൃതഗണമായ A-യെ R-ലേക്കു രൂപാന്തരണം ചെയ്യുന്നുവെന്നു കരുതുക. z = f(x,y). x,y എന്നിവയില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിനെ മാത്രം സ്ഥിരമായി നിര്‍ത്തി, മറ്റേചരത്തെ ആശ്രയിച്ചു ഫലനമൂല്യത്തിലുണ്ടാകുന്ന വ്യതിയാനത്തിന്റെ സീമ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കഴിയും. ഈ സീമയാണ് ആംശിക അവകലജാങ്കം (partial differential coefficient).

എന്നു തുടങ്ങിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍കൊണ്ടാണ് ആംശിക അവകലജാങ്കം സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. x,y എന്നീ രണ്ടു സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങളും f(x,y) എന്ന ഫലനത്തെ സ്വാധീനിക്കാം. ആ സ്വാധീനത്തിന്റെ ഒരളവാണ് സമ്പൂര്‍ണാവകലനം.

സമ്പൂര്‍ണാവകലനത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

df = df(x,y; h, k) = fx(x,y) h + fy (x,y) k അഥവാ

dz = fx (x,y) dx + fy (x, y) dy.

സമാകലനം

Integration

സമാകലനത്തെ അവകലനത്തിന്റെ പ്രതിലോമക്രിയയാണെന്നു പറയാമെങ്കിലും ആകെത്തുക നിര്‍ണയിക്കുന്ന സമ്പ്രദായത്തില്‍ നിന്നാണ് സമാകലം (Integral) എന്ന ആശയം ഉണ്ടായിട്ടുള്ളത്.

വിഭജനം

[a, b]എന്നത് R-ന്റെ ഒരു സംവൃത-അന്തരാളമാണെന്നു കരുതുക. a = x₀, x₁, x₂, ....x_1-1, x₁, .....x_n = b എന്നീ ബിന്ദുക്കള്‍ [a, b]യെ വിഭജിക്കുന്നു. ഇവിടെ x_1-1 നെക്കാള്‍ വലിയതാണ് x₁;[a,b], -ല്‍ അവിച്ഛിന്നവും ബന്ധിതവുമാണ് f. m,M, എന്നിവ ക്രമത്തില്‍ [a, b]യുടെ നിമ്നവും ഉന്നതവുമായ പരിധികളാണ് (lower and upper bounds). f([x_1-1,x₁)-ന്റെ ഇന്‍ഫിമം ആയ m₁ (i= 1,2,....n) എല്ലാം m-നും M-നും ഇടയിലായിരിക്കും.m (b-a) ക്കാള്‍ വലുതാണ് S = m₁ (x₁ -x₀) + m₂ (x₂-x₁) +...+m_n(x_n-x_n-1) ഈ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതാണ് M (b-a). അതുകൊണ്ട് S ബന്ധിതമാണ്. S-ന്റെ സുപ്രീമം^b∫ _afdx എന്നു സൂചിപ്പിച്ചാല്‍, അത് (b-a) [m,M]-ല്‍ ഉള്‍പ്പെടുന്നു എന്നു സിദ്ധിക്കുന്നു. a,b -യെക്കാള്‍ വലുതാകുമ്പോള്‍ ^b∫_a fdx എന്നത് - ^a∫_bfdxആയും a, bഎന്നിവ തുല്യമാകുമ്പോള്‍ 0 ആയും നിര്‍വചിക്കപ്പെടാമെങ്കില്‍, ^a∫_bfdx എന്നതാണ് [a, b] എന്ന സംവൃത അന്തരാളത്തില്‍ f-ന്റെ സ്ഥിരസമാകലം (Definite integral) എന്നു പറയാം.

ഈ സമാകലത്തെ പ്രതിലോമ വ്യുത്പന്നമായി കാണിക്കാന്‍ കഴിയും.F(x) ന്റെ അവകലനമാണ് f(x) എങ്കില്‍ ∫^b_afdx= F(b)-F(a) ആയിരിക്കും. (ചിത്രം 4).

 

അനുക്രമങ്ങളും ശ്രേണികളും

നിസര്‍ഗസംഖ്യാഗണത്തിലുള്ള അംഗങ്ങളെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്ന ഫലനമാണ് അനുക്രമം: അതായത്, a₁, a₂, .....a_n,......}. വാസ്തവിക സംഖ്യാഗണ(R)ത്തിലേക്കാണ് രൂപാന്തരണമെങ്കില്‍ ആ അനുക്രമം വാസ്തവികവും, സമ്മിശ്രസംഖ്യാഗണത്തിലേക്കാണെങ്കില്‍ സമ്മിശ്രസംഖ്യാനുക്രമ(complex sequence)വും ആണ്. അനുക്രമത്തെ (S_n) എന്നു സൂചിപ്പിക്കാം.

അഭികേന്ദ്രസരണവും അപകേന്ദ്രസരണവും

(S_n) എന്ന അനുക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഏതാനും ക്ലുപ്തമായ പദങ്ങളൊഴിച്ച് ബാക്കി ക്രമത്തില്‍ ശേഷിക്കുന്നവയെല്ലാം S-ന്റെ ഒരു സാമീപ്യത്തില്‍ ഉള്‍പ്പെടുമെങ്കില്‍ 'S-ലേക്ക് (S_n) അടുക്കുന്നു' എന്നു പറയാം. സാങ്കേതികമായി പറഞ്ഞാല്‍, S എന്ന ബിന്ദുവിന്റെ ഒരുസിദ്ധസാമീപ്യമായ N (s, k)-ല്‍ {S_n : n≥ m} ഉള്‍പ്പെടുന്നവിധം m എന്നൊരു നിസര്‍ഗസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സാധിക്കുമെങ്കില്‍, (S_n) S-ലേക്ക് അടുക്കുന്നു. ഈ ആശയം n → ∞ S_n = S,എന്നോ ,' S_n → S,എന്നോ പ്രകടിപ്പിക്കാവുന്നതാണ്. n അനന്തമായി തുടര്‍ന്നുപോകുമ്പോള്‍ സ്ഥിരമായ ഒരു സീമ (S) കല്പിക്കാമെങ്കില്‍, (S_n) എന്ന അനുക്രമം അഭികേന്ദ്രസരണവും അല്ലാത്തത് അപകേന്ദ്രസരണവും ആണ്. അപകേന്ദ്രസരണത്തില്‍ സീമ S_n എന്നതിനര്‍ഥമില്ല; അത് അനന്തമാണ്. (S_n ), (t_n ) എന്നീ അനുക്രമങ്ങളുടെ സീമകള്‍ ക്രമത്തില്‍ s,t ആണെങ്കില്‍,

s_n + _n,s_nt_n,kS_n,s_n/t_n(t_n≠0)

എന്നിവയുടെ സീമകള്‍ ക്രമത്തില്‍

ആയിരിക്കും.∑S_n, അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍ s_n-ന്റെ സീമ 0 ആണ്. അഭികേന്ദ്രസരണമാകാനുള്ള വ്യവസ്ഥകള്‍ : (1) ∑S_n ലെ എല്ലാ പദങ്ങളും ധനാത്മകമാണെങ്കില്‍, ∑S_n ബന്ധിതമായാല്‍ അഭികേന്ദ്രസരണവുമായിരിക്കും; (2) താരതമ്യപരീക്ഷണം (comparison test). ∑b_n അഭികേന്ദ്രസരണവും ഒരു പരിധിക്കുശേഷം വരുന്ന പദങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ 0&le a_n&le b_n എന്ന ബന്ധവുമുണ്ടെങ്കില്‍, ∑a_nഅഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും; (3) ∑| a_n | അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍ ∑a_n നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണമായിരിക്കും; (4) നിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണത്തില്‍ അഭികേന്ദ്രസരണം ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നു; (5) ∑b_nഅഭികേന്ദ്രസരണം ആണെങ്കില്‍ നിരപേക്ഷ ∑a_n അഭികേന്ദ്രസരണമാണ്; (6) അംശബന്ധപരീക്ഷണം (Ratio test). ∑a_n അനുക്രമത്തിന്റെ ഒരു പദവും അതിനു മുമ്പുള്ള പദവും തമ്മിലുള്ള അംശബന്ധത്തിന്റെ കേവലമൂല്യം ഏതെങ്കിലും ഒരു പരിധിക്കുശേഷം ഒരു ധനഭിന്നമാണെങ്കില്‍, അതായത്

ആണെങ്കില്‍ ∑a_nനിരപേക്ഷ അഭികേന്ദ്രസരണമാണ്; ഈ അംശബന്ധം 1-നെക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ ആണെങ്കില്‍ a_n അപകേന്ദ്രസരണവുമാണ്.

|a_n+1/a_n|നുപകരം അതിന്റെ സീമയെടുത്താലും ഈ നിയമം അനുസരിക്കാവുന്നതാണ്; എന്നാല്‍ സീമയുടെ മൂല്യം ഒന്ന് ആണെങ്കില്‍ പരീക്ഷണം പരാജയപ്പെടുന്നു; (7) സമാകല പരീക്ഷണം (integral test). f ഒരു വാസ്തവിക ഫലനമാണ്; [1,∞) എന്ന ഗണത്തില്‍ അവിച്ഛിന്നവും മൂല്യശോഷണവുമുള്ളതുമാണ്; ധനാത്മകവുമാണ്. a_n ആയിരിക്കെⁿ ∫₁ അഭികേന്ദ്രസരണമാണെങ്കില്‍ മാത്രമേ, σa_n അഭികേന്ദ്രസരണമാകയുള്ളു, 

എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതു തെളിയിക്കുന്നത്;

(8) (0-∞,1] എന്ന ഗണത്തില്‍ p പെടുന്നെങ്കില്‍,&Sum;n_-p അപകേന്ദ്രസരണവും (1, ∞) ല്‍ പെടുന്നെങ്കില്‍, അഭികേന്ദ്രസരണവുമാണ്.

അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ. നീളം, കോണം (angle) എന്നിവയെ സാധാരണ അര്‍ഥത്തില്‍ അളക്കുന്ന യുക്ളീഡിയന്‍ സമ്പ്രദായത്തിലുള്ള അളവുകളെ ഇതില്‍ ഒഴിവാക്കുന്നു. പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി (projective Geometry)യില്‍ നിന്നു വ്യത്യസ്തമായി സമാന്തരത (parallelism) യുടെ ഒരു നിര്‍വചനത്തെ ആധാരമാക്കിയാണ് ഈ ശാഖ കെട്ടിപ്പടുത്തിട്ടുള്ളത്.

ഏതെങ്കിലും ഒരു പ്രത്യേകരേഖയെ (നേര്‍രേഖ ആകണമെന്നില്ല) ആസ്പദമാക്കിയായിരിക്കും ഇതില്‍ സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്; പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതിയില്‍ അത്തരം ഒരു സ്ഥിരരേഖ അഥവാ അടിസ്ഥാനരേഖ ഉണ്ടായിരിക്കുകയില്ല. ജ്യാമിതിയിലെ അനന്തതാരേഖയെ (line at infinity) തന്നെ അടിസ്ഥാനരേഖയായി ഇതില്‍ സ്വീകരിക്കാവുന്നതാണ്. ഈ രേഖയില്‍ മുട്ടുന്ന രണ്ടു രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിരിക്കാമെന്നതുകൊണ്ട് അനന്തതാരേഖയ്ക്ക് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ പ്രാധാന്യമുണ്ട്. സമാന്തരതയുടെ ഒരു നിര്‍വചനം ഇതില്‍നിന്നുണ്ടാകുന്നു. ആ നിര്‍വചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയും. ഏതെങ്കിലും ഒരു രേഖയെ പ്രത്യേകമായി സ്വീകരിക്കുവാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ ആ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ ഒരു സമാന്തരതയും അതില്‍നിന്ന് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയും രൂപപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. പ്രക്ഷേപീയജ്യാമിതിയില്‍ ദീര്‍ഘവൃത്തവും പരവളയ (parabola)വും ബഹിര്‍വളയ(hyperbola)വും തമ്മില്‍ തത്ത്വത്തില്‍ വ്യത്യാസമില്ല; എന്നാല്‍ അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ ഇവ വ്യത്യസ്തമാണ്. മിതീയ ജ്യാമിതി(Metrical Geometry)യില്‍ മാത്രമേ വൃത്തവും ദീര്‍ഘവൃത്തവും തമ്മില്‍ വ്യത്യാസമുള്ളു. യുക്ളീഡിയന്‍ തത്ത്വങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ച് നീളം, കോണം എന്നിവ അളക്കുന്ന സമ്പ്രദായം സമതല യുക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി (Plane Euclidean Geometry)യില്‍ നിന്നു മാറ്റിയാല്‍ അവശേഷിക്കുന്നത് ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയിരിക്കും.

സമാന്തരരേഖകളെ സമാന്തരരേഖകളായിതന്നെ നിലനിര്‍ത്തുന്നതും അതുപോലെ വസ്തുതകളെ നിശ്ചരം (invariant) ആയി നിലനിര്‍ത്തുന്നതും ആയ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ (transformations) ഉണ്ട്. ഉദാ.

x₁ = ax + by + c

y₁ = dx + ey + f

(ae-bd) എന്നതു പൂജ്യം ആകാത്തവിധം ഈ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ x, y എന്നീ നിര്‍ദേശാങ്കങ്ങള്‍ x₁, y₁ എന്നിവയായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു. ഇതുകൊണ്ടു സമാന്തര രേഖകള്‍ സമാന്തരമായിത്തന്നെ വര്‍ത്തിക്കും. ഇത്തരം നിശ്ചര രൂപാന്തരണ (invariant transformations)ങ്ങളെ അഫൈന്‍ അഥവാ സജാതീയം എന്നു പറയുന്നു. ഇത്തരം രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ എല്ലാംകൂടി ആധുനിക ബീജഗണിതം അനുസരിച്ച് ഒരു 'ഗ്രൂപ്പ്' ആയിത്തീരുന്നു. ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്ത(Group Theory )ത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന വസ്തുതകളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ വിശദമാക്കുന്ന നിര്‍വചനങ്ങളും തത്ത്വങ്ങളും ചേര്‍ന്നാല്‍ ഒരു അഫൈന്‍ ജ്യാമിതി ആയി.

(ae-bd) എന്നതിന്റെ മൂല്യം ഒന്ന് ആണെങ്കില്‍ മേല്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണത്തിലെ രൂപാന്തരണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍

(x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃)

എന്നീ മൂന്നു ബിന്ദുക്കളും ഒരേ നേര്‍രേഖയില്‍ അല്ലാതിരിക്കുമ്പോള്‍

x₁ (y₂ - y₃) + x₂ (y₃ - y₁) + x₃ (y₁ - y₂)

എന്നതു നിശ്ചരമായിരിക്കും. ഇത് ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന രൂപാന്തരണങ്ങളെ സമജാതീയം (equi-affine) എന്നു പറയുന്നു. സമജാതീയ രൂപാന്തരണത്തെ ആധാരമാക്കി നിശ്ചരമായിരിക്കുന്ന സമതലവക്രങ്ങ (plane curves)ളുടെ ഗുണധര്‍മങ്ങള്‍ പഠനവിധേയമായിട്ടുണ്ട്.

ഇക്കാര്യങ്ങളെല്ലാം ഉയര്‍ന്ന മാനങ്ങളിലുള്ള പ്രതലങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സാമാന്യവത്കരിച്ചിരിക്കുന്നു. ത്രിമാന പദ്ധതിയിലെ യൂക്ളിഡിയന്‍ വക്രങ്ങള്‍ക്കും പ്രതലങ്ങള്‍ക്കും എന്നപോലെ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഇവയെ സംബന്ധിച്ച് അഫൈന്‍ ജ്യാമിതിയിലുണ്ട്. n-മാന പദ്ധതിയില്‍ n സ്വതന്ത്രചരങ്ങളുടെ ഒരു സമുച്ചയംകൊണ്ട് n-മാന പദ്ധതിയിലെ ഒരു ബിന്ദു പ്രതിനിധാനം ചെയ്യപ്പെടാവുന്നതാണ്. ഇത്തരം ബിന്ദുക്കള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന പ്രതലത്തില്‍ സമാന്തരത എന്നതു കേവലാര്‍ഥത്തില്‍ പറയുന്നതു ശരിയല്ല ഇതില്‍ സമാന്തരതയെ ആപേക്ഷികമായിട്ടേ നിര്‍വചിക്കാന്‍ കഴിയൂ. സമാന്തരതയ്ക്ക് ഒരു നിര്‍വചനം നല്കുന്നതുകൊണ്ടു മാത്രമേ ഇതു സാധ്യമാകൂ. യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയില്‍ കേവലാര്‍ഥത്തിലാണ് സമാന്തരത നിര്‍വചിക്കപ്പെടുന്നത്.

പ്രതലങ്ങള്‍ക്ക് ഇത്തരം അഫൈന്‍ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ ആ പ്രതലങ്ങളെ സജാതീയബന്ധിതം (affinely connected) എന്നു പറയുന്നു. റീമാനിയന്‍ ജ്യാമിതി (Riemannian Geometry)യുടെ മാതൃകയില്‍ സജാതീയ ബന്ധിതമായ പ്രതലങ്ങളുടെ ഒരു സിദ്ധാന്തം തന്നെ കാര്‍ടണ്‍, എഡിങ്ടണ്‍, ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍, വെബ്ലന്‍, വീയില്‍ എന്നിവര്‍ രൂപം നല്കിയിട്ടുണ്ട്. നോ: ഗ്രൂപ്പ് സിദ്ധാന്തം, പ്രക്ഷേപീയ ജ്യാമിതി, യൂക്ളീഡിയന്‍ ജ്യാമിതി

അഭാജ്യസംഖ്യ

ഒന്നും അതേ സംഖ്യയും ഒഴികെ മറ്റൊരു പൂര്‍ണസംഖ്യയും ഘടകമായി ഇല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യ. ഉദാ. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ..... ഈ അനുക്രമം അനന്തം ആണ്. അഭാജ്യസംഖ്യയല്ലാത്ത പൂര്‍ണസംഖ്യകളെ സംയുക്തസംഖ്യകള്‍ (composite numbers) എന്നു പറയുന്നു. ഏതു സംയുക്തസംഖ്യയും അതിന്റെ അഭാജ്യഘടകങ്ങളായി പിരിച്ചെഴുതാം; ഒരേ വിധത്തിലേ പിരിച്ചെഴുതാന്‍ കഴിയൂ. ഉദാ.

24 = 2³ x 3. ഈ വസ്തുത അങ്കഗണിതത്തിലെ മൌലിക സിദ്ധാന്തം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

എറാട്ടോസ്ത്തനീസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ അഭാജ്യസംഖ്യകളെ മറ്റു പൂര്‍ണസംഖ്യകളില്‍നിന്ന് അരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാര്‍ഗം (ബി.സി. 240) കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. 'എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ അരിപ്പ' (Sieve of Eratosthanes) എന്നാണ് അതിനു പേര്. 100 വരെയുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍, ഈ മാര്‍ഗംവഴി 2, 3, 5, 7 എന്നിവയുടെ 100-ല്‍ താഴെ വരുന്ന പെരുക്കങ്ങളെ മാറ്റിക്കളയുകയാണ്. 100-ന്റെ വര്‍ഗമൂലം വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ പെരുക്കങ്ങള്‍ മാറ്റിയാല്‍ മതിയാകും. ശേഷിക്കുന്നത് അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ആയിരിക്കും.

അഭാജ്യസംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഗണിതസൂത്രം കണ്ടെത്താന്‍ പിത്തഗറസ് എന്ന ഗ്രീക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ മുതല്‍ പലരും ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്; ഇന്നേവരെ പൂര്‍ണമായി വിജയിച്ചിട്ടില്ല. എറാട്ടോസ്ത്തനീസിന്റെ മാര്‍ഗം ശ്രമകരമാണ്. കേംബ്രിഡ്ജിലെ പ്രൊഫസര്‍ ആയിരുന്ന എഡ്വേര്‍ഡ് വെയറിങ് ഒരു മാര്‍ഗം രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ ശിഷ്യനായ ജോണ്‍ വില്‍സണ്‍ (1741-93) ആണ് ഈ മാര്‍ഗം (വില്‍സണ്‍ തിയറം) കണ്ടുപിടിച്ചത്. ഇതനുസരിച്ച്, (n -1) ! + 1 എന്ന സംഖ്യയെ കൃത്യമായി n കൊണ്ട് ഹരിക്കാന്‍ കഴിയുമെങ്കില്‍ n ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആയിരിക്കും. ഉദാ.

n = 7, (n -1)! = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.

(n - 1)! + 1 = 721, 721-നെ 7 കൊണ്ട് കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. 7 ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആണ്. എന്നാല്‍ 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1-നെ 1 മുതല്‍ 6 വരെയുള്ള എല്ലാ പൂര്‍ണസംഖ്യകള്‍കൊണ്ടും കൃത്യമായി ഹരിക്കാന്‍ കഴിയും. അതുകൊണ്ട് 6! + 2, 6! + 3, 6! + 4,6! + 5, 6! + 6 എന്നിവയൊന്നും അഭാജ്യമല്ല.

അറിയാവുന്നതില്‍വച്ച് ഏറ്റവും വലിയ അഭാജ്യസംഖ്യ 2¹²⁷ -1 ആണ് എന്ന് വളരെക്കാലം വിശ്വസിച്ചിരുന്നു. ഈ സംഖ്യ: 170141183460469231731687303715884105727 ഇത് 1876-ല്‍ എഡ്വേര്‍ഡ് ല്യൂക്കസ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണ് അഭാജ്യസംഖ്യ ആണെന്നു തെളിയിച്ചത്. എന്നാല്‍ 1952-ല്‍ കംപ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ച് 222811 എന്ന സംഖ്യ അഭാജ്യമാണെന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചു.

2 ഒഴികെ മറ്റെല്ലാ അഭാജ്യങ്ങളും ഒറ്റസംഖ്യകളാണ്. അനന്തം അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടെന്ന് പ്രാചീന ഗ്രീക് ഗണിതാചാര്യനായ യൂക്ളിഡ് തെളിയിച്ചു (ഏകദേശം ബി.സി. 280). ഏത് ഇരട്ടസംഖ്യയും രണ്ട് അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആയിരിക്കുമെന്ന് ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു. ക്രിസ്ത്യന്‍ ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്റെ പേരില്‍ അറിയപ്പെടുന്ന ഈ 'ഊഹം' 1742-ല്‍ ആണ് അവതരിപ്പിക്കപ്പെട്ടത്: ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം. ഉദാ. 2 = 1 + 1, 100 = 11 + 89. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 3,00,000-ത്തില്‍ കവിയാത്ത അത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആണെന്ന 1931-ലും 1-ല്‍ കവിഞ്ഞ ഓരോ ഒറ്റസംഖ്യയും 3-ല്‍ കവിയാത്തത്രയുടേതെന്ന് പിന്നീടും തെളിയിക്കുകയുണ്ടായി. ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയും 4-ല്‍ കവിയാത്തത്ര അഭാജ്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഇതില്‍നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഗോള്‍ഡ് ബാഷ് ഗൃഹീതം തെറ്റാണെന്നതിന് ഒറ്റ തെളിവുപോലും കിട്ടിയില്ലെങ്കിലും ശരിയാണെന്ന് ഇതേവരെ തെളിയിച്ചിട്ടില്ല. നോ: അങ്കഗണിതം, അങ്കഗണിതഫലനം, അനലിറ്റിക് നമ്പര്‍ തിയറി, ആള്‍ജിബ്ര, സംഖ്യാസിദ്ധാന്തം